Classe C1 / Continuité des dérivées partielles

Bonjour, j'aimerai que quelqu'un m'apporte un explication concernant la correction de l'exercice trouvé dans un livre (https://ibb.co/n7Z2sBy) Image

Pour montrer qu'un fonction est de classe C1, il faut que la fonction soit continue et dérivable, et que ses dérivées soient aussi continues.

C'est la dernière partie que je n'arrive pas à saisir.
De ce que j'ai compris : la norme euclidienne s'écrit ||(x,y)||2 et est égale à sqrt(x^2+y^2)
Je ne comprend pas comment on passe de ce que j'ai entouré en rouge à ce que j'ai entouré en vert.
Je ne comprend pas non plus pourquoi le dénominateur de ce que j'ai entouré en rouge n'a pas changé comme le numérateur.
Et enfin, ce que j'ai entouré en bleu permet de montrer que la dérivée partielle est continue, Dans le cas où elle n'est pas continue, alors la dérivée partielle est supérieur à epsilon ?

Merci