Équation différentielle

[medou coulibaly]

Bonjour j'ai besoin d'aide pour la résolution de cette équation différentielle dont je bloque dessus.
y' = tan(x) + sin(x)
Svp j'ai besoin d'aide

[Black-Jack]

Bonjour,

y' = tan(x) + sin(x)

dy/dx = tan(x) + sin(x)
dy = tan(x) dx + sin(x) dx

$y=\int tan(x)dx+\int sin(x)dx$

$y=\int \frac{sin(x)}{cos(x)}dx+\int sin(x)dx$

$y=-ln|cos(x)|-cos(x)+C$

Sur chaque intervalle ]-Pi/2 + k.Pi ; Pi/2 + k.Pi[ avec k dans Z

Remarque, la valeur de C est constante dans chaque intervalle ci-dessus, mais peut être différente dans différents intervalles.

[medou coulibaly]

@Black-Jack Bonjour monsieur y a une erreur dans l'équation différentielle c'est une faute de ma part
C'est y' = ytan(x) + sin(x)

[Black-Jack]

Une manière parmi d'autres (que je donne ici car peu utilisée ... et je l'aime bien) :

y' = ytan(x) + sin(x)
y' - ytan(x) = sin(x)

Poser y = u*v (avec u et v des fonctions de x)
y' = u'.v + u.v'

u'.v + u.v' - yan(x)*u.v = sin(x)
u'.v + u.(v' - v.tan(x))= sin(x)

Cherchons une fonction v telle que v' - v.tan(x) = 0

v'/v = tan(x) = sin(x)/cos(x)
ln|v| = -ln|cos(x)| = ln|1/cos(x)|
v = 1/cos(x)

L'équation devient alors : u'/cos(x) = sin(x)
u' = (1/2).sin(2x)
u = -(1/4).cos(2x) + C

y = ((1/4).cos(2x) + C)/cos(x)

$y=\frac{C1-cos(2x)}{4.cos(x)}$

Pour x dans ]-Pi/2 + k.Pi ; Pi/2 + k.Pi[ avec k dans Z

C1 est une constante (dont la valeur peut être différente dans chacun des intervalles ci-dessus)
''''''

Tu peux essayer aussi par la méthode le plus souvent enseignée par ici.

[Black-Jack]

Rebonjour,

Par la méthode plus souvent utilisée par ici :

y' - y.tan(x) = sin(x)

Solutions de y' - y.tan(x) = 0

y'/y = tan(x) = sin(x)/cos(x)

ln|k.y| = -ln|cos(x)| = ln|1/cos(x)|
y = C/cos(x)
''''''''''''
Solution particulière de y' - y.tan(x) = sin(x)

Par variation de la constante :
y = f/cos(x) (avec f une fonction de y)
y' = (f'.cos(x) + f.sin(x))/cos²(x)

y' - y.tan(x) = sin(x)
(f'.cos(x) + f.sin(x))/cos²(x) - f.sin(x)/cos²(x) = sin(x)

f'.cos(x) = sin(x)

f' = 1/2.sin(2x)
f = -1/4.cos(2x)

y = (-1/4.cos(2x))/cos(x)
y = -cos(2x)/(4.cos(x))
'''''''''''''
Solutions générales :

y = -cos(2x)/(4.cos(x)) + C/cos(x)

y = (C1 - cos(2x)) /(4.cos(x))

Pour x dans ]-Pi/2 + k.Pi ; Pi/2 + k.Pi[ avec k dans Z

C1 est une constante (dont la valeur peut être différente dans chacun des intervalles ci-dessus)

[medou coulibaly]

@Black-Jack merci beaucoup monsieur je vous essayer de reprendre ça seul