réduction formes quadratiques par méthode de Gauss : plusieurs solutions possibles ?

[Mathieu Krisztian]

Soit à réduire par la méthode de Gauss la forme quadratique $x^2+2xy+3y^2$.

Si on commence la réduction en exploitant les termes faisant apparaître $x$ (dont le coefficient de $x^2$ est 1), on va trouver comme réduction : $(x+y{)}^2+2y^2$ et le calcul est très rapide.

En revanche, si on commence la réduction en exploitant les termes faisant apparaître $y$, on va trouver comme réduction : $3(y+\frac{1}{3}x{)}^2+\frac{2}{3}{x}^2$, et le calcul est un peu plus long (du fait que le coefficient de $y$ est différent de 1, donc il faut réfléchir davantage pour former des carrés.)

Autrement dit, on obtient 2 solutions distinctes suivant le choix de stratégie.
(ici, j'ai construit un cas d'école pour ma question, mais pour d'autres cas, une approche conduit à un calcul beaucoup plus long que l'autre)

D'où les questions :
*Est-ce que la réduction par la méthode de Gauss d'une forme quadratique peut engendrer plusieurs solutions ?
*Quel est le choix "académique" parmi les solutions ?
*Pourriez-vous commenter ?