3. Multiple de 13 : je suis à la recherche d'un théorème existant qui démontrerais une drôle de coïncidence.

Multiple de 13 : je suis à la recherche d'un théorème existant qui démontrerais une drôle de coïncidence.

  • M

    Bonjour à tous,

    Un ami m'a fait remarquer une drôle de coïncidence sur les multiples de 13 et m'a demandé si je connaissais un théorème ou une règle qui expliquerait cela.

    Considérons un nombre abc.

    Lorsque dans abc, le nombre ab est multiple de 13 et le nombre bc est multiple de 13 alors on remarque que le nombre ca est systématiquement un multiple de 13.

    Voici des exemples :
    265 :
    26 => multiple de 13
    65 => multiple de 13
    5 et 2 donc 52 => multiple de 13

    139 :
    13 => multiple de 13
    39 => multiple de 13
    9 et 1 donc 91 => multiple de 13

    Quelqu'un pourrait m'apporter un éclairage sur cette drôle de logique ?

    Merci

  • B

    Bonjour,

    ab est multiple de 13 : 10a + b = 13.A (avec A entier)
    --> b = 13A - 10a (1)

    bc est multiple de 13 : 10b + c = 13.B (avec B entier)
    --> b = (13.B - c)/10 (2)

    (1) et (2) donnent : 13A - 10a = (13.B - c)/10
    c = -130A + 100a + 13B

    ca : = 10c + a
    = -1300A + 1000a + 13B + a
    = -1300A + 1001a + 13B
    = 13.(77a + B - 100A)
    Et donc (ca) est multiple de 13

  • H

    Bonjour, je suggère d'utiliser la notation (a:b:c):=100a+10b+1c(a: b :c):=100a+10b+1c(a:b:c):=100a+10b+1c avec a,b,c∈[[0,9]]a,b,c \in [[0,9]]a,b,c∈[[0,9]] (c'est la notation utilisée par l'oeis.)

  • H

    C'est joli.
    Il existe un critère de divisibilité célèbre par 131313 basé sur le fait que
    (0) 1001=7.11.131001=7.11.131001=7.11.13
    Donc 13 divise 1001 (on écrira 13∣100113|100113∣1001). Par ailleurs, on sait que
    (1) 13∣10a−b13|10a-b13∣10a−b
    et que
    (2) 13∣10b−c13|10b-c13∣10b−c
    Pour éliminer bbb dans (1) et (2), multiplions dans un premier temps (1) par 101010 : on obtient (3) 13∣100a−10b13|100a-10b13∣100a−10b. En combinant (2)&(3), on obtient alors 13∣100a−c13|100a-c13∣100a−c
    Donc 13∣1000a−10c13|1000a-10c13∣1000a−10c
    Donc 13∣10c−1001a+a13|10c-1001a+a13∣10c−1001a+a, ie 13∣10c+a13|10c+a13∣10c+a d'après (0). Ce Qu'il Fallait Démontrer.

  • H

    L'utilisation des congruences (le signe ≡\equiv≡ ici remplacé par = ) simplifiera utilement la rédaction pour ceux qui connaissent. Pour ceux qui ne connaissent pas, c'est l'occasion d'apprendre 🙂 . J'utilise le point comme synonyme de "et"(vieille tradition anglaise 🙂 )
    Modulo 13, on a 1001=0. Par ailleurs, par hypothèse,10a-b=0.10b-c=0=>100a-10b=0.10b-c=0=>100a-c=0=>1000a-10c=0=>10c+a=0 puisque 1000=1001-1=-1. qed

    Plus court, ∀a,b∈Z\forall a, b\in \mathbb Z∀a,b∈Z
    10a−b≡0.10b−c≡0  ⟹  100a−10b≡0.10b−c≡0  ⟹  100a−c≡0  ⟹  1000a−10c≡0  ⟹  10c+a≡010a-b\equiv0.10b-c\equiv0\implies 100a-10b\equiv0.10b-c\equiv 0\implies100a-c\equiv0\implies 1000a-10c\equiv0\implies10c+a\equiv010a−b≡0.10b−c≡0⟹100a−10b≡0.10b−c≡0⟹100a−c≡0⟹1000a−10c≡0⟹10c+a≡0 puisque 1000≡−1mod  131000\equiv-1\mod131000≡−1mod13. qed

  • H

    ∀a,b∈Z,10a+b≡0.10b+c≡0  ⟹  100a+10b≡0.10b+c≡0  ⟹  100a−c≡0  ⟹  1000a−10c≡0  ⟹  10c+a≡0\forall a, b\in \mathbb Z, 10a+b\equiv0.10b+c\equiv0\implies 100a+10b\equiv0.10b+c\equiv 0\implies100a-c\equiv0\implies 1000a-10c\equiv0\implies10c+a\equiv0∀a,b∈Z,10a+b≡0.10b+c≡0⟹100a+10b≡0.10b+c≡0⟹100a−c≡0⟹1000a−10c≡0⟹10c+a≡0 puisque 1000≡−1mod  131000\equiv-1\mod131000≡−1mod13. qed

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