Linéarisation cosinus / sinus avec Euler et Moivre


  • Titouan Roche

    Bonjour,

    Je ne comprend le raccourci que le corrigé de mon livre prend quand il dit que cos(3x)=Re(ei3x)cos(3x) = Re(e^i3x)cos(3x)=Re(ei3x) ?

    Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

    Merci !


  • B

    Bonjour,

    ei.x=cos(x)+i.sin(x)e^{i.x} = cos(x) + i.sin(x)ei.x=cos(x)+i.sin(x)

    Et donc Re(ei.x)=cos(x)Re(e^{i.x}) = cos(x)Re(ei.x)=cos(x)

    Et Im(ei.x)=sin(x)Im(e^{i.x}) = sin(x)Im(ei.x)=sin(x)

    Et avec x = 3X, on a : Re(ei.3X)=cos(3X)Re(e^{i.3X}) = cos(3X)Re(ei.3X)=cos(3X)
    '''''''''

    Il faut revoir et retenir les formules d'Euler , soit (entre autres) :

    cos(x)=eix+e−ix2cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}cos(x)=2eix+eix
    sin(x)=eix−e−ix2isin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}sin(x)=2ieixeix
    ei.x=cos(x)+i.sin(x)e^{i.x} = cos(x) + i.sin(x)ei.x=cos(x)+i.sin(x)