Valeur de zêta pour connaitre la constante d'Euler.
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thomas guitard dernière édition par thomas guitard
Bonjour.
Je cherche a connaitre la valeur de ∑k=1+∞1k(k+1)\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k(k+1)}∑k=1+∞k(k+1)1 exprimer avec zêta.
J'imagine que c'est un classique mais je ne le connais pas.
J'ai trouvé un moyen simple d'exprimer la constante d'Euler-Mascheroni avec le logarithme naturel et cette somme infini qui doit surement être exprimable avec zêta.
γ=(2−2ln2)∑k=1+∞1k(k+1)\gamma=(2-2\ln 2)\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k(k+1)}γ=(2−2ln2)∑k=1+∞k(k+1)1
J'imagine que se que j'ai trouvé est trivial et connu mais je demande au cas ou.
Merci.
Cordialement,
Thomas.
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thomas guitard dernière édition par thomas guitard
Ha, je remarque qu'on peu exprimer autrement:
γ=(2−2ln2)∑k=1+∞1(k+1)2−(k+1)\gamma=(2-2\ln 2)\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{(k+1)^2-(k+1)}γ=(2−2ln2)∑k=1+∞(k+1)2−(k+1)1 ou
γ=(2−2ln2)∑k=1+∞1k2+k\gamma=(2-2\ln 2)\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2+k}γ=(2−2ln2)∑k=1+∞k2+k1 qui a l'air plus naturel.Sachant que ∑k=1+∞1k2=π26\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}∑k=1+∞k21=6π2 ça pourrait nous aider mais je vois pas pour le moment.
Cordialement,
Thomas.
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
Il me semble qu'il y a un soucis.
1k.(k+1)=1k−1k+1\frac{1}{k.(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}k.(k+1)1=k1−k+11
Et donc Σk=1n1k.(k+1)=1−1n+1=nn+1\displaystyle \Sigma_{k=1}^{n} \frac{1}{k.(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}Σk=1nk.(k+1)1=1−n+11=n+1n
Et si n→+∞n\to +\inftyn→+∞, on a : Σk=1+∞=limn→+∞(nn+1)=1\displaystyle \Sigma_{k=1}^{+\infty} = lim_{n\to +\infty} (\frac{n}{n+1}) = 1Σk=1+∞=limn→+∞(n+1n)=1
Σk=1+∞1k.(k+1)=1\displaystyle \Sigma_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k.(k+1)} = 1Σk=1+∞k.(k+1)1=1
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thomas guitard dernière édition par thomas guitard
Je comprend ton raisonnement.
Comme je suis mauvais.
J'ai calculé a la main, j'ai pas réussit a dépasser 0,5772156649
J'ai surement pas calculer suffisamment loin.
(2−2×ln 2)×(1÷2+1÷6+1÷12+1÷20+1÷30+1÷42+1÷56+1÷72+1÷90+1÷110+1÷132+1÷156+1÷182+1÷210+1÷240+1÷172+1÷306+1÷342+1÷380)=0,58433214224
c’était trop beau pour être vrais.
Mon intuition n'est donc pas bonne.
j'avais calculé l'aire violette entre 1 et 2 puis je l'ai multiplié par un coefficient pour avoir l'aire violette entre 2 et 3 puis 3 et 4 et ainsi de suite.
afin d'avoir l'aire totale qui est la constante d'Eule.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/04/Gamma-area.svg?uselang=fr
Malheureusement les formes violette après déformation ne sont pas identique.
c'est cette vidéo qui m'a fait penser a mon mauvais tour de passe passe.
https://www.youtube.com/watch?v=G0Fa5Zl-Z3c&t=1734s&ab_channel=Mathologer0,61370563888 n'est tout de même pas une trop mauvaise approximation.
Merci.
