Nombre de configurations de pions sur un échiquier

Bonjour,

Je cherche une méthode pour résoudre le problème suivant:
On place N pions sur un échiquier (sans considération pour sa surface). Chaque pion doit avoir au moins un voisin et peut en avoir au plus quatre. Combien existe-t-il de configurations possibles pour les pions (les pions sont indifférenciables les uns des autres, seule l'occupation des cases compte)?
Mon raisonnement:
Pour N=2, on fait tourner 1 pion autour de l'autre l'autre soit 4 possibilités
Pour N=3, de même le pion 2 tourne autour du 1 (4 possibilités) et le 3 autour du 2 (3 possibilités) soit 3x4
Ce raisonnement est-il réplicable pour tout N? Soit 4x3^(N-2) possibilités?

Merci pour votre aide!

Bonjour,

Je ne suis pas sûr de comprendre l'énoncé.

Si (sans considération pour sa surface) signifie sur un échiquier infini (sans bord)

Alors, je ne suis déjà pas d'accord sur ton :
"Pour N=2, on fait tourner 1 pion autour de l'autre l'autre soit 4 possibilités"

Comme les pions sont "indifférenciables les uns des autres", il n'y a que 2 possibilités (je suppose que la proximité en diagonale ne compte pas, mais ce n'est pas clair non plus).
Soit les 2 pions sont voisins en horizontal (et peu importe celui des pions qui est à gauche ou à droite de l'autre, puisqu'il sont indifférenciables.
Soit les 2 pions sont voisins en horizontal (et peu importe celui des pions qui est "plus haut" ou "plus bas" de l'autre, puisqu'il sont indifférenciables.

Mais, pour moi, l'énoncé n'est pas clair du tout, et donc ce que j'en pense est sujet à caution.

Ce problème est très bizarre

@Black-Jack bonjour, oui vous avez bien compris l'énoncé et mon raisonnemebt est faux d'emblée! Il y a bien 2 configurations pour N=2 vous avez raison. Qu'en est-il pour N=3,4, etc... ?
Merci!

@n4ms

Bonjour,

Votre raisonnement est intéressant, mais il ne tient pas compte de toutes les configurations possibles. En effet, vous supposez que chaque pion est ajouté à la périphérie de la configuration existante, ce qui n'est pas nécessairement le cas. Un nouveau pion pourrait être ajouté entre deux pions existants, par exemple.
De plus, votre formule suppose que chaque pion a exactement un voisin, ce qui n'est pas une condition du problème. Un pion peut avoir jusqu'à quatre voisins.
Il s'agit d'un problème complexe de combinatoire et de géométrie discrète. Une approche possible serait d'utiliser la théorie des graphes pour modéliser le problème, chaque case de l'échiquier étant un sommet et chaque paire de cases adjacentes étant une arête. Ensuite, le problème revient à compter le nombre de sous-graphes connexes avec N sommets.
Cependant, même avec cette approche, le problème reste difficile à résoudre analytiquement pour des valeurs arbitraires de N. Il pourrait être plus pratique d'utiliser une méthode numérique ou algorithmique pour le résoudre.

Bonjour,
Je me présente succinctement, Sébastien d'Alsace, père de famille et je travaille dans les arts et les lettres.
Je me permets d'interférer sur ce post pour éviter de créer un sujet de plus sachant que celui-ci coïncide à peu de chose près à ma question. J'espère que ça n'offensera personne^^

On place N chiffres dans un carré de 3x3. Combien de configurations possibles peut-il avoir? J'ai beau essayer de faire le calcul méthodiquement en commençant par mettre le 1 dans le haut du coin gauche du carré puis en déplaçant le chiffre 9 d'une case par colonne, ça me semble irréalisable tant il y a de possibilités. Et, en rapport à mon niveau en mathématiques, si je fais 3x3 je n'obtiens que 9^^ Bref, je suis une quiche en maths. Pourriez-vous m'aider svp?