Somme avec des coefficients binomiaux

Bonjour tout le monde, j'ai 3 sommes que je n'arrive pas à calculer.

$∑k=0n(1k+1∗(nk))\sum_{k=0}^{n} ( \frac{1}{k+1} *\binom{n}{k})$

$∑k=0n((−1k)∗k∗(nk))\sum_{k=0}^{n} ( (-1^k)*k *\binom{n}{k})$

$∑k=0n((−1)kk+1∗(nk))\sum_{k=0}^{n} (\frac{(-1)^k}{k+1}*\binom{n}{k})$

Merci de votre aide

Bonjour,
il y a plusieurs façons de calculer : je propose pour le 1)
de calculer $∫01(x+1)ndx\int_0^1 (x+1)^n dx$ de 2 façons différentes (la deuxième consiste à développer $x+1)^n$ d'abord avec la formule du binôme).

Pour le 3) même méthode les bornes étant $[- 1, 0]$

La deuxième la somme est nulle. Pour le voir on pose S la somme. On remplace
dans S binomial(n,k) par binomial(n,n-k). Ce qui ne change pas la valeur de S. On ajoute ces 2 sommes,on obtient 2S qui se simplifie. On voit que le résultat est nul (toujours avec le binôme de Newton.)

Bonjour,

Pour le 3ème.

Si n est pair, on a les termes de la somme avec k = 0 et k = n-1 qui sont opposés, leurs somme est nulle.
C'est vrai pour la somme de 2 termes tels que k = a et k = n-a-1 (avec a dans [0 ; (n-2)/2])

Donc le résultat de la somme est la valeur du seul terme avec k = n, soit donc n!/((n+1)!.(0!) = 1/(n+1)

Donc : Si n pair, S = 1/(n+1)

Je n'ai pas cherché avec n impair.

Effectivement $∫−10(x+1)ndx=1n+1,\int_{-1}^0 (x+1)^n dx =\dfrac{1}{n+1},$ mais le résultat ne dépend pas de la parité de $n .$

Merci beaucoup pour votre aide