inégalité de produit Par récurrence
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Luukao _ dernière édition par
Bonjour, j'ai une récurrence à faire mais je ne comprends pas comment on fait
∏k=0n2k+1!\prod_{k=0}^n 2k+1!∏k=0n2k+1! ≥\ge≥ ((n+1)!)n+1((n+1)!)^{n+1}((n+1)!)n+1
merci de votre aide !!!
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jb2017 dernière édition par
Bonjour
Si on désigne par unu_nun le membre de gauche et vnv_nvn celui de droite et supposons que un−1≥vn−1.u_{n-1}\geq v_{n-1}.un−1≥vn−1.
On a un=un−1(2n+1)!≥un−1(2n+1)!≥vn−1(2n+1)!u_n=u_{n-1} (2n+1)! \geq u_{n-1} (2n+1)! \geq v_{n-1} (2n+1)!un=un−1(2n+1)!≥un−1(2n+1)!≥vn−1(2n+1)!
Si on démontre que vn−1(2n+1)!≥vn,v_{n-1} (2n+1)! \geq v_n,vn−1(2n+1)!≥vn, c'est gagné.
Cette dernière inégalité est équivalente a (2n+1)!≥(n+1)n(n+1)!(2n+1)! \geq (n+1)^n (n+1)!(2n+1)!≥(n+1)n(n+1)!
Il faudrait démontrer cette inégalité qui est un peu plus simple que l'inégalité initiale.
Je propose donc de la démontrer par récurrence.
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Luukao _ dernière édition par
Merci de votre réponse mais :Pouvez vous me rédiger la récurrence je n'y arrive pas
