Ensemble des fonction f(x)=0

[Fulgar]

Bonjour
j'ai le problème suivant :
On appelle E l’ensemble des applications définies sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$. Soit f ∈ E , on note
$Kf$ = {x ∈ $\mathbb{R}$, f (x) = 0}, et $If$= {y ∈ $\mathbb{R}$, ∃x ∈ $\mathbb{R}$, y = f (x)}
la première question est :
Est-ce que ∀ $f$ ∈ E telle que $Kf$ $\ne$ $\varnothing$ ?
en démonstration est ce que l'on peut dire :
∃ $f$ ∈ E :
$\mathbb{R}$->$\mathbb{R}$
$x$ $\mapsto$ $x^2+4$
avec ∀x ∈ $\mathbb{R}$ ; f(x) $\ne$ 0
Ainsi Il existe une fonction $f$ ∈ E tel que $Kf=0$
L'affirmation de la 1ere question est donc fausse.
Merci d'avance pour vos précieux conseils.