Inégalité de convexité:

[Luukao _]

Bonjour,je suis en mpsi et j'ai une égalite à démontrer , merci de votre aide.

on a que :
$ln(1+x)$ $\le$ $e$

On doit montrer avec cela : $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ $\le$ $e$

et $\frac{(n+1{)}^n}{n!}$$\le$ $e^n$

[Luukao _]

J'ai réussi la première partie :
je me suis tromper dans mon énoncé:
On utilise : $ln(1+x)$ $\le$ $x$

avec $x$$=$$\frac{1}{n}$
$\Rightarrow$ $ln(1+\frac{1}{n})$$\le$$\frac{1}{n}$
$\Rightarrow$ $n\ast ln(1+\frac{1}{n})$$\le$$1$
$⟺$$ln((1+\frac{1}{n}{)}^n)$ $\le$ $1$
$⟺$ $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ $\le$ $e$

Voila la résolution que je propose .

[Black-Jack]

@Luukao-_ a dit dans Inégalité de convexité: :

J'ai réussi la première partie :
je me suis tromper dans mon énoncé:
On utilise : $ln(1+x)$ $\le$ $x$

avec $x$$=$$\frac{1}{n}$
$\Rightarrow$ $ln(1+\frac{1}{n})$$\le$$\frac{1}{n}$
$\Rightarrow$ $n\ast ln(1+\frac{1}{n})$$\le$$1$
$⟺$$ln((1+\frac{1}{n}{)}^n)$ $\le$ $1$
$⟺$ $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ $\le$ $e$

Voila la résolution que je propose .

Bonjour,

Ok, mais prendre la précaution de mentionner que ln(1+x) <= x est vrai seulement pour x > -1

Et que, comme 1/n > -1 pour tout n de N*, on a alors ln(1 + 1/n) <= 1/n pour tout n de N*
''''''''''''

(1 + 1/n)^n <= e (pour tout n de N*)

$(\frac{n+1}{n}{)}^n\le e$

C'est vrai pour n = k (de N*), mais aussi pour n = (k-1), (k-2) ... 1 et donc :

$(\frac{k+1}{k}{)}^k\le e$
$(\frac{k}{k-1}{)}^{k-1}\le e$
$(\frac{k-1}{k-2}{)}^{k-2}\le e$
...
$(\frac{2}{1}{)}^1\le e$

On multiplie toutes ces inégalités et on obtient :

$(\frac{k+1}{k}{)}^k\ast (\frac{k}{k-1}{)}^{k-1}\ast (\frac{k-1}{k-2}{)}^{k-2}\ast ...\ast (\frac{2}{1}{)}^1\le e\ast e\ast e\ast ...\ast e$

Et en simplifiant, on obtient :

$\frac{(k+1{)}^k}{k}\ast \frac{1}{k-1}\ast \frac{1}{k-2}\ast ...\ast \frac{1}{1}\le e^k$

$\frac{(k+1{)}^k}{k!}\le e^k$

CQFD

A comprendre et à vérifier (je n'ai rien relu)

[Luukao _]

Bonjour, tout d'abord merci de votre aide,mais je ne comprends pas comment bien le formaliser.

[Black-Jack]

@Luukao-_ a dit dans Inégalité de convexité: :

Bonjour, tout d'abord merci de votre aide,mais je ne comprends pas comment bien le formaliser.

Bonjour,

Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans ce que j'ai écrit ?

Il a été établi que (1 + 1/n)^n <= e (qui est équivalent à [(n+1)/n]^n <= e) pour tout n de N*

On applique cette relation pour n = k, puis pour n = k-1, puis pour n = k-2 ... jusque n = 1

On multiplie toutes ces inégalités membre à membre.

Et on simplifie le résultat en remarquant par exemple que :
k est la puissance k dans un des dénominateurs et que k est à la puissance (k-1) dans un des numérateurs ... donc on simplifie et il teste k à la puissance 1 au dénominateur.
On fait la même chose avec (k-1) ... qui est à la puissance (k-1) dans un des dénominateurs et à la puissance (k-2) dans un des numérateurs ... donc on simplifie et il reste (k-1) à la puissance 1 au dénominateur.
On continue à simplifier de manière analogue pour (k-2), (k-3) ...

Et on regarde ce qui reste en fin de toutes ces simplifications.
on a alors : $\frac{(k+1{)}^k}{k}\ast \frac{1}{k-1}\ast \frac{1}{k-2}\ast ...\ast \frac{1}{1}\le e^k$

qui peut s'écrire : $\frac{(k+1{)}^k}{k!}\le e^k$