matrice maths expert dm
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je ne sait plus dernière édition par
Exercice 17 :
Soit M ∈ Mn (R) telle que M2 = M4
Montrer que si In + M est inversible, alors M2 = M3.je n'arrive pas a développer
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@je-ne-sait-plus , bonjor,
Tu ne dis pas de quel développement tu parles....
Je te suggère de développer (In+M)(M2−M3)(I_n+M)(M^2-M^3)(In+M)(M2−M3)
Calcul :
(In+M)(M2−M3)=InM2−InM3+M3−M4(I_n+M)(M^2-M^3)=I_nM^2-I_nM^3+M^3-M^4(In+M)(M2−M3)=InM2−InM3+M3−M4
(In+M)(M2−M3)=M2−M3+M3−M4(I_n+M)(M^2-M^3)=M^2-M^3+M^3-M^4(In+M)(M2−M3)=M2−M3+M3−M4
(In+M)(M2−M3)=M2−M4(I_n+M)(M^2-M^3)=M^2-M^4(In+M)(M2−M3)=M2−M4
M2=M4M^2=M^4M2=M4 donc : (In+M)(M2−M3)=0(I_n+M)(M^2-M^3)=0(In+M)(M2−M3)=0
Lorsque (In+M)(I_n+M)(In+M) est inversible, elle a une matrice inverse (In+M)−1(I_n+M)^{-1}(In+M)−1
(In+M)−1(In+M)(M2−M3)=(In+M)−1×0(I_n+M)^{-1}(I_n+M)(M^2-M^3)=(I_n+M)^{-1}\times 0(In+M)−1(In+M)(M2−M3)=(In+M)−1×0
(In+M)−1(In+M)(M2−M3)=0(I_n+M)^{-1}(I_n+M)(M^2-M^3)=0(In+M)−1(In+M)(M2−M3)=0
En utilisant l'associativité de la multiplication matricielle :
((In+M)−1(In+M))(M2−M3)=0\biggr((I_n+M)^{-1}(I_n+M)\biggr)(M^2-M^3)=0((In+M)−1(In+M))(M2−M3)=0(In)(M2−M3)=0(I_n)(M^2-M^3)=0(In)(M2−M3)=0 , c'est à dire M2−M3=0M^2-M^3=0M2−M3=0,
c'est à dire M2=M3M^2=M^3M2=M3
CQFD
Revois tout cela de près.
