Simplification fonction trigonométrique

Bonjour,

Dans un problème, je cherche à résoudre cette équation: x^3-12x-8=0. Pour cela, j'étudie la fonction f(x)=x^3-12x-8.

On me demande de trouver des solutions de la forme a*cosθ avec a et θ des réels. Précédemment, on m'a fait calculé cos^3θ. J'ai trouvé (1/4)(cos3θ+3cosθ).

Maintenant il faut que je trouve a tel que l'équation se ramène à cos3θ=c avec c une constante.
Je commence donc par calculer f(acosθ). Je trouve f(acosθ)=(a*cosθ)^3-12acosθ-8 Après simplification, j'arrive à f(acosθ)=(a^3/4)cos3θ+(3a^3/4)cosθ-12acosθ-8.
Je sais qu'il faut que je trouve (a^3/4)cos3θ-12acosθ-8 mais je ne vois pas comment.

En admettant que je trouve f(acosθ)=(a^3/4)cos3θ-12acosθ-8, je remarque que a=4 convient pour simplifier l'expression: j'obtiens 16acos3θ-12*4cosθ-8 mais je ne suis pas sûr de moi.

Merci d'avance pour vos réponses,
Bonne journée.

Bonjour,
x³ - 12x - 8 = 0

Si x = a.cos(theta) est solution, alors :

a³.cos³(theta) - 12.a.cos(theta) - 8 = 0
a³((1/4).cos(3theta) + (3/4).cos(theta)) - 12.a.cos(theta) - 8 = 0

a³.cos(3theta) + (3a³-48a).cos(theta) - 32 = 0

cos(3theta) = [32 - 3a(a²-16).cos(theta)]/a³

Pour que cos(3.theta) soit une constante, il faut que 3a(a²-16) = 0 (avec a = 0 interdit (on ne peut pas diviser par 0))

Il faut donc a = -4 ou 4 et cos(3theta) = 32/a³ qui donne cos(3theta) = -1/2 ou cos(3theta) = 1/2

1°)
Avec a = -4, cos(3theta) = -1/2, on a 3.theta = -2Pi/3 + 2k.Pi ou 2Pi/3 + 2k.Pi --> theta = -2Pi/9 + 2k.Pi/3 ou 2Pi/9 + 2k.Pi/3
x = -4.cos(2Pi/9 + 2k.Pi/3)
solutions : x = -4.cos(2Pi/9) ; x = -4.cos(4Pi/9)

2°)
Avec a = 4, cos(3theta) = 1/2, on a 3.theta = -Pi/3 + 2k.Pi ou Pi/3 + 2k.Pi--> theta = -Pi/9 + 2k.Pi/3 ou Pi/9 + 2k.Pi/3
x = 4.cos(Pi/9 + 2k.Pi/3)
solutions : x = 4.cos(Pi/9) ; x = 4.cos(5Pi/9)

En remarquant que -4.cos(4Pi/9) = 4.cos(5Pi/9), les solutions de x³ - 12x - 8 = 0 sont :

x1 = -4.cos(2Pi/9)
x2 = 4.cos(Pi/9)
x3 = 4.cos(5Pi/9)
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A comprendre et savoir refaire sans aide ... sinon c'est inutile.

Merci beaucoup de ta réponse !