Question de dénombrement pas si simple
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AAlexterrieur dernière édition par
Bonjour à tous !
Petite question que je n'arrive pas à résoudre.
J'ai N billes identiques, que je répartis aléatoirement en k tas.
Quelle est la probabilité qu'au moins 1 tas ait au moins p billes ?Ca parrait simple comme ça, mais je sèche !
Merci d'avance !
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
Sans garantie ...
J'essaie d'expliquer ce que je ferais ...
Je le fais avec un exemple chiffré, il devrait être facile de le généraliser.Soit 10 billes à répartir dans 3 tas , proba d'avoir au moins 4 billes dans au moins 1 des tas.
Etude de 1 des tas :
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Pour qu'au final il contienne 0 bille, il n'y a qu'une seule possibilité.
Chacune des 10 billes doit avoir été posée dans un autre tas.
La proba de mettre une bille dans un tas est de 1/3, et la proba de la mettre dans un des autres tas est de 2/3
Donc la proba d'avoir 0 bille en tout dans le tas étudié est de : 1 * (2/3)^10 -
Pour qu'au final il contienne 1 seule bille, il y a C(10,1) = 10 possibilités.
Donc la proba d'avoir 1 bille en tout dans 1 tas est de : 10 * (1/3) * (2/3)^9 -
Pour qu'au final il contienne 2 billes, il y a C(10,2) = 45 possibilités.
Donc la proba d'avoir 2 billes en tout dans 1 tas est de : 45 * (1/3)² * (2/3)^8 -
Pour qu'au final il contienne 3 billes, il y a C(10,3) = 120 possibilités.
Donc la proba d'avoir 3 billes en tout dans 1 tas est de : 120 * (1/3)³ * (2/3)^7 -
Pour qu'au final il contienne 4 billes, il y a C(10,4) = 210 possibilités.
Donc la proba d'avoir 4 billes en tout dans 1 tas est de : 120 * (1/3)^4 * (2/3)^6
et ainsi de suite jusque ...
- Pour qu'au final il contienne 10 billes, il y a C(10,10) = 1 possibilité.
Donc la proba d'avoir 10 billes en tout dans 1 tas est de : 120 * (1/3)^10
La proba que ce bac contienne au moins 4 billes est donc :
P1 = 120 * (1/3)^4 * (2/3)^6 + 252 *(1/3)^5 * (2/3)^5 + 210 * (1/3)^6 * (2/3)^3 + 120 * (1/3)^7 * (2/3)^3 + 45 * (1/3)^8 * (2/3)^2 + 10 * (1/3)^9 * (2/3)^1 + 1 * (1/3)^10P1 = (120*2^6 + 252 * 2^5 + 210 * 2^4 + 120 * 2^3 + 45 * 2^2 + 10 * 2^1 + 1)/3^10 = 20355/59049 = 6785/9683
La proba que ce sac contienne au moins 4 billes est donc : P1 = 6785/9683
La proba que ce sac contienne moins de 4 billes est donc : P2 = 1 - P1 = 2898/9683
La proba pour qu'un seul des 3 sacs contienne au moins 4 billes est donc Pa = P1 * (P2)²
La proba pour que 2 sacs contiennent au moins 4 billes est donc Pb = P1² * P2 * 3
La proba pour que 3 sacs contiennent au moins 4 billes est 0 ... pas assez de billesDonc proba qu'au moins 1 sac contienne au moins 4 billes est P = Pa + Pb = 0,504
Aucun calcul vérifié ... et peut-être raisonnement erroné.
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