DM: Sous groupe distingué

Bonjour j'espère que vous allez bien. J'ai un exercice dont je bloque, j'ai besoin de votre aide Svp.
Soit G={ 1, -1, i , -i } le groupe de quatre nombres complexes en multiplication.
a) Est ce que { 1, -1 } est un sous groupe de G ? Si oui est-il distingués dans G , Pourquoi ?
b) Est ce que { 1 ,- i } est un sous de G? Pourquoi ? Quel est le Sous-groupe engendré par { -i } ?
J'ai besoin de votre aide svp.

@Donassi-soungari-Soro , bonjour,

Quelques indications, mais je te laisse faire les calculs.
Pour les éclairer, je te suggère de faire les tables (multiplication) de G={1,-1,i,-i} ,H ={1,-1}et K={1,-i}

@Donassi-soungari-Soro ,

a) Pour prouver que H={1,-1} est un sous groupe de G, le plus simple est d'utiliser une propriété caractéristique :

élément neutre $\in H$ (oui)

$∀x,y∈H,xy−1∈H\forall x,y\in H, xy^{-1}\in H$
tu as 4 calculs à faire :
$1×(1)−1=1×1=11\times (1)^{-1}=1\times 1=1$ etc

$H$ est distingué si et seulement si :
$∀g∈G\forall g\in G$ et $∀h∈H\forall h\in H$ , $ghg−1∈Hghg^{-1}\in H$
$h$ peut prendre 2 valeurs 1 et -1, et dans chacun de ces cas, tu calcules les valeurs de $ghg−1∈Hghg^{-1}\in H$ et tu tires la conclusion.

b) Pour prouver que K={1,-i} est un sous groupe de G , tu peux utiliser le même principe que pour $H$

Le sous groupe engendré par $- i$ est l'intersection de tous les sous-groupes contenant $- i$ .
Ces sous-groupes contiennent forcément l'élément neutre $1$ , donc ils contiennent forcément $1$ et $- i$

Bons calculs

@mtschoon merci madame je vais vous faire part de mon calcul

@mtschoon après avoir calculer madame je trouve que { 1 , -1 } est un sous groupe et aussi distingué. Mais le deuxième n'est pas un SOS groupe

@Donassi-soungari-Soro , bonjour,

Je regarde les calculs.
Tes résultats me semblent bons.
Oui {1,-1} est un sous-groupe distingué.
Effectivement {1,-i} n'est pas un sous groupe.

Le sous-groupe engendré par -i doit contenir 1 et -i.

Tu as donc 3 cas à étudier :
{1,-i,-1}
{1,-i , i}
{1,-i , i , -1}

je pense que seul G={1,-i , i , -1} convient mais vérifie car j'ai fait vite.

@mtschoon merci beaucoup madame