exos dérivation/suites
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Llelglrem dernière édition par Noemi
Bonjour, je rencontre une difficulté sur mon exo de TD et je sollicite votre aide
jau une onction f : x --> x+1\sqrt{x+1}x+1. La suite un est définie par son premier terme u0 qui appartient à IR+ et définie par la relation de recherche: pour tout n appartenant à IN, un+1 = f(un).
Jai du montrer que tous les termes de la suite sont positifs, que f admet un point fixe appelé alpha, et je bloque sur la troisième :
MQ pour tout n appartenant à IN, : ∣un+1−α∣≤12∣un−α∣|u_{n+1}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}|u_n-\alpha|∣un+1−α∣≤21∣un−α∣ ? j'ai essayé avec l'inégalité triangulaire mais ça n'a pas marché... Auriez vous des pistes ? merciiiiExpression de la fonction et inéquation écrites en Latex par la modération du forum.
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@lelglrem , bonsoir,
Je te suggère d'utiliser l'inégalité des accroissements finis.
Je pense que tu connais, sinon tu regardes ici :
https://uel.unisciel.fr/mathematiques/analyse2/analyse2_ch02/co/apprendre_ch2_08.html
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dans ton exercice :
f′(x)=12x+1f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}f′(x)=2x+11Tu prouves que ∣f′(x)∣≤12|f'(x)|\le \dfrac{1}{2}∣f′(x)∣≤21
d'où
∣f(Un)−f(α)∣≤12∣Un−α∣|f(U_n)-f(\alpha)|\le \dfrac{1}{2}|U_n-\alpha|∣f(Un)−f(α)∣≤21∣Un−α∣Tu sais que f(Un)=Un+1f(U_n)=U_{n+1}f(Un)=Un+1 et que f(α)=αf(\alpha)=\alphaf(α)=α
Tu peux ainsi déduire la conclusion souhaitée.