exos dérivation/suites


  • L

    Bonjour, je rencontre une difficulté sur mon exo de TD et je sollicite votre aide 🙂
    jau une onction f : x --> x+1\sqrt{x+1}x+1. La suite un est définie par son premier terme u0 qui appartient à IR+ et définie par la relation de recherche: pour tout n appartenant à IN, un+1 = f(un).
    Jai du montrer que tous les termes de la suite sont positifs, que f admet un point fixe appelé alpha, et je bloque sur la troisième :
    MQ pour tout n appartenant à IN, : ∣un+1−α∣≤12∣un−α∣|u_{n+1}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}|u_n-\alpha|un+1α21unα ? j'ai essayé avec l'inégalité triangulaire mais ça n'a pas marché... Auriez vous des pistes ? merciiii

    Expression de la fonction et inéquation écrites en Latex par la modération du forum.


  • mtschoon

    @lelglrem , bonsoir,

    Je te suggère d'utiliser l'inégalité des accroissements finis.

    Je pense que tu connais, sinon tu regardes ici :
    https://uel.unisciel.fr/mathematiques/analyse2/analyse2_ch02/co/apprendre_ch2_08.html


  • mtschoon

    @lelglrem ,

    dans ton exercice :
    f′(x)=12x+1f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}f(x)=2x+11

    Tu prouves que ∣f′(x)∣≤12|f'(x)|\le \dfrac{1}{2}f(x)21

    d'où
    ∣f(Un)−f(α)∣≤12∣Un−α∣|f(U_n)-f(\alpha)|\le \dfrac{1}{2}|U_n-\alpha|f(Un)f(α)21Unα

    Tu sais que f(Un)=Un+1f(U_n)=U_{n+1}f(Un)=Un+1 et que f(α)=αf(\alpha)=\alphaf(α)=α

    Tu peux ainsi déduire la conclusion souhaitée.


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