exos dérivation/suites

Bonjour, je rencontre une difficulté sur mon exo de TD et je sollicite votre aide
jau une onction f : x --> $x+1\sqrt{x+1}$ . La suite un est définie par son premier terme u0 qui appartient à IR+ et définie par la relation de recherche: pour tout n appartenant à IN, un+1 = f(un).
Jai du montrer que tous les termes de la suite sont positifs, que f admet un point fixe appelé alpha, et je bloque sur la troisième :
MQ pour tout n appartenant à IN, : $∣un+1−α∣≤12∣un−α∣|u_{n+1}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}|u_n-\alpha|$ ? j'ai essayé avec l'inégalité triangulaire mais ça n'a pas marché... Auriez vous des pistes ? merciiii

Expression de la fonction et inéquation écrites en Latex par la modération du forum.

@lelglrem , bonsoir,

Je te suggère d'utiliser l'inégalité des accroissements finis.

Je pense que tu connais, sinon tu regardes ici :
https://uel.unisciel.fr/mathematiques/analyse2/analyse2_ch02/co/apprendre_ch2_08.html

@lelglrem ,

dans ton exercice :
$f′(x)=12x+1f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$

Tu prouves que $∣f′(x)∣≤12|f'(x)|\le \dfrac{1}{2}$

d'où
$∣f(Un)−f(α)∣≤12∣Un−α∣|f(U_n)-f(\alpha)|\le \dfrac{1}{2}|U_n-\alpha|$

Tu sais que $f(U_n)=U_{n+1}$ et que $f(α)=αf(\alpha)=\alpha$

Tu peux ainsi déduire la conclusion souhaitée.