3. exercice sur la Dérivation

exercice sur la Dérivation

  • L

    bonjour. Comment faire ? : si a b deux r&els tq a<b, et f une fonction qui va de ab fermé dans ab fermé, continue sur ab fermé et dérivable sur ab ouvert. On suppose qu'il existe un k qui appartient à 0 1 ouvert tel que abs(f'(x))<=k.je dois montrer que f(x)=x admet une unique solution sur ab. Comment faire ? je peine à démarrer car je ne trouve aucun résultat de cours qui peut m'aider ? merciiii

  • mtschoon

    @lelglrem , bonjour,

    J’ai bien une suggestion à te faire mais pour qu’elle fonctionne, il faudrait des données supplémentaires (que tu ne donnes pas) dans ton énoncé.
    Données utiles : f(a)>a et f(b)<b.
    C’est à dire, dans une repère, le point A de coordonnées (a,f(a)) est au dessus de la droite d’équation y=x, et le point B de coordonnées (b,f(b)) est en dessous de cette droite.

    Si tu n’as pas ces données dans ton énoncé (où sur un graphique qui les prouve), mon explication n’est pas valable.

    Je te conseille d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) , appliqué à la fonction ggg définie par g(x)=f(x)−xg(x)=f(x)-xg(x)=f(x)−x

    ggg est ainsi définie et continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[
    g′(x)=f′(x)−1g'(x)=f'(x)-1g′(x)=f′(x)−1

    ∣f′(x)∣≤k|f'(x)|\le k∣f′(x)∣≤k <=> −k≤f′(x)≤k-k\le f'(x)\le k−k≤f′(x)≤k
    donc
    −k−1≤g′(x)≤k−1-k-1\le g'(x)\le k-1−k−1≤g′(x)≤k−1

    Vu que k∈]0,1[,k\in]0,1[,k∈]0,1[, g′(x)<0g'(x)\lt 0g′(x)<0 donc g strictement décroissante.
    g(a)=f(a)−ag(a)=f(a)-ag(a)=f(a)−a donc g(a)>0g(a)\gt 0g(a)>0
    g(b)=f(b)−bg(b)=f(b)-bg(b)=f(b)−b donc g(b)<0g(b)\lt 0g(b)<0

    Avec le TVI (car de la bijection), tu déduis que l'équation g(x)=0g(x)=0g(x)=0 a une solution unique

    g(x)=0g(x)=0g(x)=0 <=> f(x)−x=0f(x)-x=0 f(x)−x=0<=>f(x)=xf(x)=xf(x)=x, d’où la réponse.

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