Image et ker par double inclusion

[Noah.s]

Bonjour j'aurais besoin d'aide pour un exercice car je ne comprend pas merci de votre aide

enoncé : E designe un K espace vectoriel ( pas forcément de dimension finie)
Soit p e L(E) tel que pop=p
Demontrer que Imp(p)= Ker (p-Ide) ( vous procederez par double inclusion)

[mtschoon]

@Noah-s , bonjour,

Tout texte n'est pas très bien écrit, mais, si j'ai compris ta question, tu dois trouver des éléments à consulter ici :

http://www.panamaths.net/Documents/Exercices/SolutionsPDF/52/APPLISLIN00009.pdf

[Noah.s]

Merci pour votre réponse mais je n'arrive pas a comprendre l'explication du document

[mtschoon]

@Noah-s , bonjour,
Je te donne quelques détails, mais bien sur, il faut connaître les notions d'image, de noyau et de projecteur.

Comme déjà dit, ton énoncé semble bizarre.
Le relation à démontrer devrait être plutôt : $\boxed{Im(p)=Ker(Id-p)}$

Remarque :
$p$ est un projecteur et tu peux justifier que $Id-p$ est aussi un projecteur car en développant $(Id-p)o(Id-p)$ et en simplifiant, tu trouves : $(Id-p)o(Id-p)=Id-p$

Pour démontrer la propriété demandée, tu dois précéder par double inclusion.

Première partie : démontrer que $\boxed{Im(p)\subset Ker(Id-p)}$
Soit $y\in Im(p)$ donc $\exists x\in E,y=p(x)$

$y$ est un projecteur, donc :
$p(y)=p(p(x))=(pop)(x)=p(x)=y$
donc $y-p(y)=0$
Or, $y=Id(y)$ don on peut écrire : $Id(y)-p(y)=0$ c'est à dire $(Id-p)(y)=0$
Par définition du noyau, tu déduis que $y\in Ker(Id-p)$

Conclusion : $Im(p)\subset Ker(Id-p)$

Je te laisse faire la seconde partie , c'est à dire démontrer que $\boxed{Ker(Id-p)\subset Im(p)}$

Reposte si tu n'y arrives pas