suites et fonctions, analyse synthèse

Bonsoir pouvez-vous m'aider je ne sais pas comment démarrer cette question :

Voici l'énoncé :
f va de R + étoile à R+ étoile
Pour tout x strictement supérieur à 0, , on veut toute les fonctions telle que f(f(x)) = 5x - f(x)
Je cherche les solutions du problème, les fonctions qui vérifient cela.

Pour a >0, on a la suite (wn) avec w0= a et pour tout n dans N, u(n+1)= f(un)

1; Comment montrer que la suite est à valeur strictement positives ?
2; comment montrer que pour tout n dans N, u(n+2) + u(n+1) - 5u(n) = 0 ?
Merci pour toutes aides

Bonjour,
Approche pas rigoureuse... mais cela peut peut être aider.

Si f(x) est polynomiale, on montre que c'est forcément du degré 1
f(x) = ax + b
f(f(x)) = a(ax+b)+b = a²x+ab+b

a²x+ab+b = 5x - ax - b
x(a²+a-5) + b(a+2) = 0

On a le système :
a²+a-5 = 0
b(a+2) = 0

$\frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$ ... donc a = -2 ne convient pas --> b = 0

$\frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}.x$

Mais comme f(x) est dans R*+, on a : $\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}.x$

$\frac{\sqrt{21} - 1}{2}.x$

u(n+1) = f(u(n))
$un+1=21−12.unu_{n+1} = \frac{\sqrt{21} - 1}{2}.u_n$

$un+2=21−12.un+1u_{n+2} = \frac{\sqrt{21} - 1}{2}.u_{n+1}$

$un+2=21−12.21−12.unu_{n+2} = \frac{\sqrt{21} - 1}{2}.\frac{\sqrt{21} - 1}{2}.u_n$

$un+2=(21−12)2.unu_{n+2} = (\frac{\sqrt{21} - 1}{2})^2.u_n$

$un+2+un+1−5.un=(21−12)2.un+21−12.un−5.unu_{n+2} + u_{n+1} - 5.u_{n} = (\frac{\sqrt{21} - 1}{2})^2.u_n + \frac{\sqrt{21} - 1}{2}.u_n - 5.u_n$

développer et on arrive à :

$u_{n+2} + u_{n+1} - 5.u_{n} = 0$

Mais, ce n'est pas suffisant pour démontrer que le f(x) trouvé est ou non la seule fonction qui convient.

@Black-Jack Bonjour,
Merci pour la piste.

Je dois travailler par analyse-synthèse.
Comment montrer que toutes les valeurs sont positive pour la suite ?

Bonjour,

Comme $21−12\frac{\sqrt{21}-1}{2}$ > $0$

Si $u_n$ > 0, alors $21−12un\frac{\sqrt{21}-1}{2} u_n$ > 0, et donc $u_{n+1}$ > $0$ (1)

Comme on impose par l'énoncé que $u_0$ > $0$ , par (1), tous les $u_n$ sont > 0
'''''''''''''''
Il reste néanmoins à montrer que la fonction f(x) trouvée est la seule qui convient ou si il y en a d'autres, de les trouver et ...

@Black-Jack Merci

@Black-Jack J'ai réussi à le refaire seul merci.
J'ai une question, pour trouver grâce à cette expression l'expression générale de u(n), dois-je utiliser la suite auxiliaire v(n)= u(n) - l ? merci

@Livindiam-Livin Re bonjour,
Finalement j'ai écrit l'expression comme étant r^2 + r - 6 = 0
Ensuite j'ai écrit la forme de la solution générale u(n)= Ar1^n + Br2^n (r1 et r2 les racines trouvé tout à l'heure.
Sauf que je dois exprimer cela en fonction de a f(a) et n. Pour écrire différemment A et B je dois prendre les conditions initiales mais là je suis coincé.

Bonjour,

Quelque chose me semble bizarre...

@Livindiam-Livin , quel est véritablement l'énoncé ?
Est-ce $f o f (x) = 5 x - f (x)$ ou bien $f o f (x) = 6 x - f (x)$ ?

Black-Jack, a fait une "approche non rigoureuse" comme il dit (il ne faut pas partir d'une conjecture de f(x), vu que c'est justement f(x) qu'il faut trouver), mais il a fait des calculs, comme indiqués dans l'énoncé donné, avec $fof(x)=5x−f(x)\boxed{fof(x)=5x-f(x)}$

Or, @Livindiam-Livin , tu parles de $r^2 + r - 6 = 0$ qui correspond à la suite récurrente d'ordre $2$ :
$U_{n+2}=-U_{n+1}+6U_n$
C'est bien comme cela qu'il faut partir pour l'analyse mais ce que tu indiques correspond à $fof(x)=6x−f(x)\boxed{fof(x)=6x-f(x)}$

Alors, quel est l'énoncé ?

Remarque : si c'était $fof(x)=6x−f(x)\boxed{fof(x)=6x-f(x)}$ le véritable énoncé, ce serait plus "élégant" car, je viens de faire la partie analyse avec cette expression de $f o f (x)$ et j'arrive ainsi à l'expression simple de $f$ : $f (x) = 2 x$

A suivre...

@mtschoon Bonjour,

Je me suis trompé dans le 1e je n'ai pas fait attention désolé, mais comme j'ai compris avec 5 j'ai oublié de le mentionné pour le 6 ,merci ^^

@Livindiam-Livin , bonsoir,

OK, donc au final, il s'agit de $f o f (x) = 6 x - f (x)$

Si besoin , je t'indique quelques pistes pour déterminer f(x), mais ce ne sont que des pistes superficielles. Il faudra travailler avec rigueur.

Analyse
$U_{n+1}=f(U_n)$
$U_{n+2}=f(U_{n+1})=f(f(U_n))=6 U_n-U_{n+1}$

$U_{n+2} +U_{n+1}-6U_n=0$
Suite récurrente d'ordre 2

Equation caractéristique $r^2+r-6=0$
Solutions $r_1=-3$ et $r_2=2$
D'où : $Un=λ(−3)n+μ2nU_n=\lambda (-3)^n+\mu 2^n$

$U_n$ doit être positif vu que $f$ est à valeurs positives
donc nécessairement $λ=0\lambda=0$
$Un=μ2nU_n=\mu 2^n$
Pour $n = 0$ , $U0=a=μ20=μU_0=a=\mu2^0=\mu$
Donc : $U_n=a2^n$
Suite géométrique de raison $2$
Donc $U_{n+1}=2U_n$ , d'où $f (x) = 2 x$

Tu fais la synthèse ne partant de $f (x) = 2 x$

Bon travail ( et bonne nuit).

@mtschoon Désolé pour l'erreur d'énoncé, merci je travaille ça ! Bonne soirée

Bon travail @Livindiam-Livin