étudier la convergence - suite récurrente

[Livindiam Livin]

Bonsoir,
Voici ce qui me pose problème dans cette exercice.

On a la suite définit par u0 appartenant à R* + et quelque soit n appartenant à N, u(n+1)= 1/2*(u(n) + a^2/u(n)) avec a appartenant à R* +.

J'ai déterminer la limite possible qui est a et j'aimerais étudier la convergence de la suite.

En travaillant le signe de g : je suis coincé car on ne connais pas la position de x par rapport à a lorsqu'on fait g(x)= f(x) -x et qu'on simplifie/arrange les termes

Ainsi j'ai dérivée f et encore une fois on ne connais pas la position de x par rapport à a.
Ce qui me dérange en regardant le corrigé c'est qu' on détermine dans le tableau de variation de f la limite en 0 qui est ,+ l'infini ce que je ne comprends pas ... vu qu'on ne connais pas la position de x par rapport à a comment peut-on dire cela ? De même en + l'infini dans le tableau de variation de f la limite est + l'infini.

Merci pour toute aide

[mtschoon]

@Livindiam-Livin , bonsoire,

Je regarde un peu ce que tu écrit.
Si j'ai bien lu :
$U_{n+1}=\frac{1}{2}{U}_n+\frac{a^2}{U_n}$

Tu as écrit :"J'ai déterminer la limite possible qui est a"

Je ne vois pas trop comment tu as trouvé $a$ pour limite.

Soit $l$ > 0 la limite possible ( si la suite est convergente)

$l$ est solution de $l=\frac{1}{2}l+\frac{a^2}{l}$
En multipliant par $l$
$l^2=\frac{1}{2}{l}^2+a^2$
En transposant
$\frac{1}{2}{l}^2=a^2$ <=> $l^2=2a^2$

Donc $\boxed{l=a\sqrt{2}}$

Pour $f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{a^2}{x}$, les limites que tu proposes sont bonnes

Lorsque $x$ end vers $0^{+}$, $\frac{1}{2}x$ tend vers $0$ et $\frac{a^2}{x}$ tend vers $+\infty$, donc la somme $f(x)$ tend vers $+\infty$

Lorsque $x$ end vers $+\infty$, $\frac{1}{2}x$ tend vers $+\infty$ et $\frac{a^2}{x}$ tend vers $0$, donc la somme $f(x)$ tend vers $+\infty$

[Livindiam Livin]

@mtschoon Merci,

pour l'expression de u(n+1) tout est multiplier par 1/2 pas seulement u(n) mais aussi a^2/u(n) c'est pour cela que la limite finie possible est a

[mtschoon]

@Livindiam-Livin ,
OK.
Tu avais bien mis des petites parenthèses mais je ne les avais pas remarquées.
Ma réponse ne correspond donc pas à l'expression souhaitée...
Indique si la démarche que je t'ai indiquée peut t'être utile.
Sinon, je verrais demain avec
$U_{n+1}=\frac{1}{2}(U_n+\frac{a^2}{U_n})$

[Livindiam Livin]

@mtschoon C'est bon pour moi je regardais les limites au mauvais endroit... Merci

[mtschoon]

De rien @Livindiam-Livin .
J'espère que les autres éléments de ta correction te conviennent, sinon reposte (en donnant des indications).