DM: analyse 3 espace vectoriel

Bonjour ! J'espère que vous allez bien. SVP j'ai besoin de votre aide sur cet exercice que je bloque.
Exercice
Nous considérons l'espace vectoriel réel ℝ³.

Montrer qu'il existe deux constantes C₁ > 0 et C₂ > 0 telles que pour tout (x,y,z) ∈ ℝ²
C₁ max(x,y,z) ≤√(x²+y²+z²) ≤ C₂ max(x,y,z).
Quand dit-on qu'un sous ensemble est compact?

@Donassi-soungari-Soro , bonjour,

Je pense que tu as fait une faute de frappe car $(x,y,z)∈R3(x,y,z)\in R^3$ ( et non $R^2$ )

Je reste perplexe sur cet énoncé.
La double inégalité que tu indiques ne peut avoir de sens que pour $x, y, z$ positifs.
Dans ce cas, tu ne travailles pas sur $R^3$ mais sur $R^+)^3$ ...

Dans $R^3$ , il faudrait prendre, non $x, y, z$ , mais leurs valeurs absolues...

Alors, merci de revois ton énoncé.

@mtschoon bonjour madame. Exactement j'ai fait une erreur de frappe c'est ℝ³

@Donassi-soungari-Soro ,

OK pour ta faute de frappe (je m'ens suis douté).

Mais, ce n'est pas cela le problème.
J'ai écrit :
La double inégalité que tu indiques ne peut avoir de sens que pour x,y,z positifs.
Dans ce cas, tu ne travailles pas sur $R^3$ mais sur $R^+)^3$
Pour travailler sur $R^3$ , il faudrait prendre, non $x, y, z$ mais leurs valeurs absolues...

Alors, que dit ton énoncé ?
(ou bien tu as fait des fautes en l'écrivant, ou bien il est eronné...)

@mtschoon OK c'est compris madame on prendra leurs valeurs absolues

@mtschoon Bonjour Madame j'avais déjà posté au début de l'année, Madame vous aviez dit que vous étiez beaucoup occupé.Voici le vrai énoncé

@Donassi-soungari-Soro , tu n'y es donc pour rien, c'est l'énoncé donné qui est "boiteux"...
Demande des explications à ton professeur.
Un exemple pour comprendre le problème :
$x = - 1, y = - 2, z = - 3$ ,
donc $m a x (- 1, - 2, - 3) = - 1$

L'inégalité s'écrit : $C1(−1)≤14≤C2(−1)C_1(-1) \le \sqrt{14}\le C_2(-1)$
Il est impossible de trouver des constantes strictement positives $C_1$ et $C_2$ qui satisfassent cette double inégalité.

Pour adapter l'énoncé à $R^3$ , je mets des valeurs absolues,
c'est à dire :
$C1max(∣x∣,∣y∣,∣z∣)≤x2+y2+z2≤C2max(∣x∣,∣y∣,∣z∣)C_1max(|x|,|y|,|z|) \le \sqrt{x^2+y^2+z^2}\le C_2 max(|x|,|y|,|z|)$

$m a x (∣ x ∣, ∣ y ∣, ∣ z ∣)$ prend 3 valeurs possibles : ou bien $∣ x ∣$ ou bien $∣ y ∣$ ou bien $∣ z ∣$

1er cas : $max((∣x∣,∣y∣,∣z∣)=∣x∣\boxed{max((|x|,|y|,|z|)=|x|}$ donc $max(x^2,y^2,z^2)=x^2$

Une piste possible :
$x2≤x2+y2+z2≤x2+x2+x2x^2\le x^2+y^2+z^2\le x^2+x^2+x^2$
c'est à dire :
$x2≤x2+y2+z2≤3x2x^2\le x^2+y^2+z^2\le 3x^2$
c'est à dire
$x2≤x2+y2+z2≤3x2\sqrt {x^2}\le \sqrt{x^2+y^2+z^2}\le \sqrt {3x^2}$

Or, $x2=∣x∣\sqrt {x^2}=|x|$ et $(3x)2=3(x)2=3∣x∣(3\sqrt x)^2=\sqrt 3(\sqrt{x})^2=\sqrt 3|x|$

Tu peux donc écrire :
$∣x∣≤x2+y2+z2≤3∣x∣|x|\le \sqrt{x^2+y^2+z^2}\le \sqrt 3|x|$
c'est à dire
$1∣x∣≤x2+y2+z2≤3∣x∣1|x|\le \sqrt{x^2+y^2+z^2}\le \sqrt 3|x|$

Tu peux donc choisir :
$C1=1\boxed{C_1=1}$ et $C2=3\boxed{C_2=\sqrt 3}$

2ème cas : $max((∣x∣,∣y∣,∣z∣)=∣y∣\boxed{max((|x|,|y|,|z|)=|y|}$ donc $max(x^2,y^2,z^2)=y^2$
même démarche

3ème cas : $max((∣x∣,∣y∣,∣z∣)=∣z∣\boxed{max((|x|,|y|,|z|)=|z|}$ donc $max(x^2,y^2,z^2)=z^2$
même démarche

Remarque : comme $x, y, z$ jouent le même rôle, tu obtiendras forcément les même constantes dans les 3 cas.

@mtschoon Bonsoir j'ai remplace et je retrouve la meme valeur pour c₁ et c₂.

@mtschoon merci madame je vous reviens après mes calculs

@mtschoon je retrouve les mêmes résultats que le résultat du départ.

@mtschoon pour la question 2, voici ma réponse. Soit ( E , ||. || ) de E un espace normé. On dit qu'une partie de A de E est compacte si l'espace normé ( A,||. ||) de A est compact. Selon moi on dit qu'un sous ensemble est compact si l'ensemble qui contient le sous-ensemble est compact.

@Donassi-soungari-Soro , bonsoir,

J'ignore ce qui est attendu ici sur sous-ensemble compact de $R^3$ , car il y a beaucoup de choses à dire.
Voir lien :
https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=agreginterne/cours/complementstopo.html

@mtschoon merci bien madame.

@mtschoon Bonjour je pense que c'est de çà que la question sous-entend.
Une partie d'un espace vectoriel normé de dimension finie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

@mtschoon bonjour madame. La question 3 de l'exercice Me posse toujours de problème

@Donassi-soungari-Soro ,

Quelques idées pour avancer la question 3.

Si j'ai bien lu, $0$ est la borne inférieure de l'ensemble { $∣ ∣ x - y ∣ ∣$ } avec $x∈Kx\in K$ et $y∈Fy\in F$

$0$ est donc le plus grand des minorants de cet ensemble ( les autres minorants sont strictement négatifs)

Tu peux donc en déduire que :
$∀ϵ>0\forall \epsilon \gt 0$ $∃x∈K\exists x \in K$ , $∃y∈F\exists y \in F$ tels que $∣∣x−y∣∣<ϵ||x-y||\lt \epsilon$

Pour répondre à la question posée, tout peux prendre $ϵ=1n\epsilon=\dfrac{1}{n}$ avec $\in N$ *

$x$ et $y$ seront en fonction de $n$ , noté $x_n$ et $y_n$ et ainsi :
$∀n∈N∗,∣∣xn−yn∣∣<1n\forall n \in N^*, ||x_n-y_n||\lt \dfrac{1}{n}$

Pour la déduction, j'ai un doute car on ne sait rien sur ce sous-ensemble $F$ , bizarre ...

Peut-être est ce une autre coquille de l'énoncé.

Peut-être $F$ est-il un sous-ensemble fermé ( vu qu'il s'appelle $F$ ) ?
Vois dans ce sens là en prenant une suite $x_n)$ dans K compact et une suite $y_n)$ dans $F$ fermé, le mieux étant de demander des explications à ton professeur sur ce $F$

Bon travail.

@mtschoon Bonjour madame, j'ai demandé au Prof un jour sur l'exercice, il a dit que F est fermé.

@medou-coulibaly C'est ça je me souviens

Bonjour,

Proposer un exercice avec plusieurs erreurs, c'est la première fois que je vois ça ! ! !

Pour terminer, quelques suggestions pour la 3)b) mais ce ne sont que des suggestions, mais il faut détailler, expliciter avec rigueur.

$K$ est donc une partie fermée bornée et $F$ une partie fermée.

Propriété caractéristique des parties fermées qui peut être utilisée, me semble -t-il :
"Une partie P de E est fermée si et seulement si toute suite convergente dans E et à valeurs dans P fermée est convergente dans P"
Pour faire court, "toute suite convergente dans une partie P fermée a sa limite qui reste dans P".

L'énoncé précise "déduire"
On utilise la propriété prouvée à la 3)a) :
$∀n∈N∗,∣∣xn−yn∣∣<1n\boxed{\forall n\in N^*, ||x_n-y_n||\lt \dfrac{1}{n}}$

Soit $x_n)$ suite convergente dans $K$ (donc ayant sa limite dans $K$ )
Soit $y_n)$ suite convergente dans $F$ (donc ayant sa limite dans $F$ )
Lorsque $n$ tend vers l'infini, $1n\dfrac{1}{n}$ tend vers 0
Donc, $x_n-y_n||$ tend vers $0$ , donc $x_n-y_n$ tend vers $0$

$x_n)$ et $y_n)$ ont donc la même limite $l$

Avec la propriété indiquée (écrite en gras) :
$l∈Kl\in K$ et $l∈Fl\in F$ donc $l∈K∩Fl\in K\cap F$ donc $K∩F≠∅K\cap F \ne \emptyset$

Bonnes réflexions.

@mtschoon Bonjour madame merci c'est compris.Pouvez vous voir que j'ai dit la 2)
Puisque votre lien envoyé contient beaucoup de définition et de théorème et de lemme. Donc l'on a du mal à prendre un

Cet énoncé est vraiment mauvais !!!

Quand on est à la question 2) (qui n'est que du cours, et tout dépend ce que dit ton cours que je connais pas...) , on ne peut savoir ce qui est vraiment utile que lorsqu'on cherche la fin de l'exercice.

Répondre à la 2 "Une partie d'un espace vectoriel normé de dimension finie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée" me parait bien, vu qu'ensuite on utilise le fait que "toute suite convergente dans une partie fermée a sa limite qui reste dans cette partie fermée".

@mtschoon Madame pour la 3 a)
Vu que 0 étant la borne inférieure de l'ensemble { || x - y || avec x ∈ K et y ∈ F } et que 0 étant le plus grand des minorants de cet ensemble, est-ce que (0+1) /n avec n ∈ ℕ* , est-il un minorant de cet ensemble ?

@mtschoon pour la 2 ) c'est compris

@medou-coulibaly

@medou-coulibaly a dit dans DM: analyse 3 espace vectoriel :

@mtschoon Madame pour la 3 a)
Vu que 0 étant la borne inférieure de l'ensemble { || x - y || avec x ∈ K et y ∈ F } et que 0 étant le plus grand des minorants de cet ensemble, est-ce que (0+1) /n avec n ∈ ℕ* , est-il un minorant de cet ensemble ?

NON

Relis ma réponse (que je crois claire) sur ce sujet et la définition de borne inférieure.

$0$ étant le plus grand des minorants, les autres minorants sont inférieurs à $0$ donc strictement négatifs)

@mtschoon oui j'ai vu , les autres minorants seront strictement négatifs

@mtschoon On a une intégrale pour le DM

@medou-coulibaly a dit dans DM: analyse 3 espace vectoriel :

@mtschoon oui j'ai vu , les autres minorants seront strictement négatifs

C'est très bien @medou-coulibaly si maintenant cette notion de "borne inférieure" est claire pour toi.

@mtschoon merci beaucoup

Bon travail @medou-coulibaly @Donassi-soungari-Soro

@mtschoon merci beaucoup madame j'ai aussi posté une intégrale triple qui nous fatigue

@mtschoon bonjour madame.merci beaucoup madame