Calcul d'intégrale triple

[medou coulibaly]

A) calculer ∭ | 𝑥^2 − 𝑦^2 | 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑠𝑢𝑟 ∆= { (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³⁺, 𝑥^2 + 𝑦^2 ≤ 𝑧^2 et 0 ≤ 𝑧 ≤ 1}
On pourra utiliser les coordonnées polaires.

[medou coulibaly]

@medou-coulibaly Bonjour comment vous allez, jusque-là j'ai pas reçu d'aide concernant ce poste

[mtschoon]

@medou-coulibaly , bonsoir,

Je crois que ton topic a passé inaperçu...
J'espère que tu as terminé cette intégrale.
Si ce n'est pas le cas, je t'indique quelques pistes.

Avec le conseil de l'énoncé, utilise les coordonnées polaires.
$\boxed{J=\int \int |x^2-y^2|dxdy}$
$x=rcos\theta$
$y=rsin\theta$
Tu transformes l'expression de la fonction
$|x^2-y^2|=|r^{2}co{s}^2\theta -r^{2}si{n}^2\theta |=r^2|co{s}^2\theta --si{n}^2\theta |$
Formule de duplication:
$\boxed{|x^2-y^2|=r^2|cos2\theta |}$
$\boxed{dxdy=rdrd\theta }$
Domaine d'intégration :
$x^2+y^2\le z^2$ <=>$r^{2}co{s}^2\theta +r^{2}si{n}^2\theta \le z^2$
c'est à dire $r^2(co{s}^2\theta +si{n}^2\theta )\le z^2$
c'est à dire $r^2\le z^2$
c'est à dire $\boxed{z\le r}$ : disque de centre O et de rayon $z$

Donc :
$J={\int }_0^z{r}^{2}rdr{\int }_{-\pi }^{\pi }|cos2\theta |d\theta$
$J={\int }_0^z{r}^{3}dr{\int }_{-\pi }^{\pi }|cos2\theta |d\theta$

Remarque : Pour $\theta$, si tu préfères, tu peux prendre l'intervalle $[0,2\pi ]$ au lieu de $[-\pi ,\pi ]$. Cela revient au même
J'ai choisi $[-\pi ,\pi ]$ pour raison de parité.

[mtschoon]

@medou-coulibaly ,

Tu calcules les intégrales
Tu dois trouver après calculs,
${\int }_0^z{r}^{3}dr=.....=\frac{z^4}{4}$

Graphique la fonction $\theta$->$|cos2\theta |$

Pour $\theta \in [0,\frac{\pi }{4}]$, $cos2\theta \ge 0$ donc $|cos2\theta |=cos2\theta$
Tu peux déduire après calculs,
${\int }_{-\pi }^{\pi }|cos2\theta |=8{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}cos2\theta d\theta =......=4$
Ainsi $J=(\frac{z^4}{4})4=z^4$

Tu termines en calculant
$I=\int \int \int |x^2-y^2|dxdydz={\int }_0^{1}Jdz={\int }_0^1{z}^{4}dz$

Vérifie tout ça et termine

Bons calculs.

[medou coulibaly]

@mtschoon Bonsoir madame j'ai compris et merci beaucoup à vous.Je vais faire les calculs et vous revenir

[mtschoon]

OK @medou-coulibaly .