intégration et calcul d'aire

Salut j'ai pas pu répondre à la dernière question

montrer que la courbe y = racine carré (2x -x^2) est un demi cercle et la tracer.
soit f(x)= l'intégrale entre 0et x de racine carré(2t-t^2)dt et soit g (x)= l'intégrale entre 0et 1+sinx de racinecarré (2t-t^2)
a)calculer la dérivée de g puis déduire g(x)
b)montrer que l'intégrale entre 0 et 2 de f(x)dx égale à l'intégrale entre -pi/2 et pi/2 de cos(x).f(1+sinx)de
c)déduire l'aire du domaine limité par la courbe de f ,l'axe des abscisses et les droites:x=0 et x=2.
d) ce résultat (de c) est -il prévisible ?
Voilà j'ai trouvé l'aire pi/2 qui est f(2) mais la question d) j'ai pas trouvé.
Aider moi et merci vivement

@galois
A la question 1 tu as montré que la courbe était un demi cercle de rayon 1 dont le centre était sur l'axe des abscisses ; donc l'aire de ce demi cercle est $1 / 2 p i r ² = p i / 2$ . Donc oui le résultat était prévisible.

@stummel oui mais l'intégrale en question désigne l'aire limitée par la courbe de f et non pas par le demi cercle

Bon OK on reprend.
Initialement, on a : $y=2x−x2y=\sqrt{2x-x^2}$
Ceci correspond à une équation réduite d'une courbe.

En représentation cartésienne, on obtient :
$x-1)^2 + y^2 = 1$ ce qui correspond à un cercle de centre $(1; 0)$ et de rayon 1.

Les deux expressions ne sont pas équivalentes car l'équation réduite ne permet de décrire que la "partie positive" de ce cercle soit un demi-cercle. (l'autre partie serait décrite par la courbe $y=−2x−x2y=-\sqrt{2x-x^2}$ )

A présent on définit la fonction f par : $f(x)=∫0x2t−t2dtf(x)=\int_{0}^x{\sqrt{2t-t^2}dt}$ , ce qui pour $x = 2$ donne :

$f(x)=∫022t−t2dtf(x)=\int_{0}^2{\sqrt{2t-t^2}dt}$

Et c'est là qu'il faut bien comprendre ce que représente cette équation, et surtout la signitifcation des bornes ; ici on veut calculer l'aire délimitée par la courbe d'équation $y=2x−x2y=\sqrt{2x-x^2}$ pour x allant de 0 à 2 : or, x=0 et x=2 correspondent aux abscisses des points d'intersection du cercle avec l'axe des abscisses soit un demi cercle.

J'espère que c'est un peu plus clair pour toi..

@stummel merci vivement mais le problème c'est qu'en cherche l'aire limité par la courbe de f et les droites x=0et x=2 et l'axe des abscisses don l'intégrale entre 0 et 2 de f(x)dx et non pas de racine carré (2x -x^2).