Démontrer qu'un multiple de 5 se termine toujours par 0 ou 5

Bonjour,
Dans le cadre d'un mémoire de Master MEEF, je dois expliquer pourquoi un multiple de 5 se termine toujours par 0 ou 5.
La seule démonstration que j'ai trouvé utilise les congruences, or je ne maîtrise pas cette notion donc j'ai peur de me faire coller dessus le jour de la soutenance.
Auriez-vous une démonstration d'un autre type à me proposer?
Merci d'avance pour votre aide.

Après réflexion, j'ai écrit cette démo:

Tout entier multiple de 5 peut être écrit de la manière suivante : n = 5 x k ou k est un entier naturel.
Si le chiffre des unités de k est pair, le chiffre de unités de n se terminera toujours par 0 car tous les résultats de la multiplication de 5 par un nombre pair entre 0 et 9 se termine par un 0 : 5x0=0, 5x2=10, 5x4=20, 5x6=30 et 5x8=40 .
De même, si le chiffre des unités de k est impair, le chiffre des unités de n se terminera toujours par 5 car : 5x1=5, 5x3=15, 5x5=25, 5x7=35 et 5x9 =45

Qu'en pensez-vous ? Est-elle complète ?

@bigflymo , bonjour,

J'ai l'impression que tu travailles avec des entiers positifs, c'est à dire des naturels : $n∈Nn\in N$

En restant sur la seconde idée proposée, tu peux donner une explication plus générale.

n multiple de $5$ <=> $n = 5 k$ avec $k∈Nk\in N$

1er cas : $k$ pair : $k = 2 p$ , avec $p∈Np\in N$

Donc : $n = 5 (2 p) = 10 p$

Lorsqu'on multiplie un naturel par $10$ , le chiffre des unités est forcément $0$
Donc le chiffre des unités de $n$ est $0$

Tu peux détailler plus si nécessaire (seulement si nécessaire)
Dans le système décimal usuel (en base 10) , lorsqu'on multiplie un naturel par $10$ , le chiffre des unités de $p$ est le chiffre des dizaines de $10 p$ et le chiffre des unités de $10 p$ est $0$
Dans l'écriture, il y a un décalage d'un rang vers la gauche.
Si $p$ s 'écrit $AB..U‾\overline{AB..U}$ , alors $10 p$ s'écrit $AB..U0‾\overline{AB..U0}$
exemple numérique :
$54283‾×10‾=542830‾\overline{54283}\times \overline{10}=\overline{542830}$

2ème cas : k impair : $k = 2 p + 1$ , avec $p∈Np\in N$

Donc : $n = 5 (2 p + 1) = 10 p + 5$
Le chiffre des unités de $10 p$ est $0$ (voir le premier cas) donc en ajoutant $5$ à $10 p$ , le chiffre des unités devient $5$ (vu que $0 + 5 = 5$ )
Donc le chiffre des unités de $n$ est $5$

Tu peux détailler plus ce second cas si nécessaire (seulement si nécessaire), comme dans le premier cas.

Bon travail .