matrice et application multiplicative

Bonjour je suis actuellement bloqué à la dernière question d'un exercice dont voici l'énoncé :

Soit f : $Mn(K)→M_{n}(K)\rightarrow$ K non constante et telle que $∀\forall$ A,B $∈\in$ $M_{n}(K)$ , f(AB)=f(A)f(B)
a) Déterminer f( $I_{n}$ ). Montrer que si A est inversible, alors f(A) $≠\not=$ 0.
b) Montrer que f(0)=0. Montrer que si A est nilpotente, alors f(A)=0.
c) Montrer que A est inversible ssi f(A) $≠\not=$ 0.
d) Déterminer les X $∈\in$ $M_{n}(K)$ tels que pour tout M $∈\in$ $M_{n}(K)$ , f(M+X)=f(M)+f(X).

Donc les questions a et b sont assez immédiates. Et pour la question c j'ai montré qu'une matrice qui n'est pas inversible est équivalente à une matrice nilpotente.