Preuve logique de Syracuse : où ça pêche ?

[Sgo]

Bonjour, voici une démonstration logique et le plus mathématique possible pour tenter de prouver la Syracuse. Pouvez-vous me dire si il y a un manque logique ? Et si non, qu'est-ce qu'il manque d'un point de vue mathématique ?

Structure hiérarchique compressée du problème de Syracuse (3x+1)

Présentation narrative.

Cette note formalise une méthode de partition des entiers impairs en un Tableau hiérarchique compressé : la colonne 0 (racines) contient les impairs vérifiant v₂(3x+1)=1 (approximativement 75% des impairs) et, pour chaque racine x, les colonnes n ≥ 0 contiennent les frères définis par
L_{x,n} = ((3x+1)4^n - 1)/3.
L'objectif est de démontrer :
(A) l'exhaustivité de cette partition,
(B) son unicité,
puis d'en déduire l'absence de cycles impairs non triviaux dans la dynamique compressée.

Notations et définitions

On note v₂(m) l'exposant de 2 dans m.
Pour un impair x, on définit la fonction compressée :
f(x) = (3x+1) / 2^{v₂(3x+1)}
(correspond à appliquer 3x+1 puis diviser par 2 autant que possible pour revenir à un impair).

Définition (Colonne 0 – racines)
Colonne 0 = ensemble 𝒞₀ des impairs x tels que v₂(3x+1)=1.

Définition (Frères)
Pour x ∈ 𝒞₀ et n ≥ 0 :
L_{x,n} = ((3x+1)4^n - 1)/3.
La famille {L_{x,n} : n ≥ 0} = ensemble des frères de x (colonnes n).

Lemmes et preuves

Lemme (Exhaustivité)
Pour tout impair y, il existe x ∈ 𝒞₀ et n ≥ 0 tels que y = L_{x,n}.

Preuve.
Soit y impair, m = 3y+1 = 2^k * u avec u impair, k ≥ 1.
Posons n = ⌊k/2⌋ et s = m / 4^n.
Alors x = (s - 1)/3 est impair et y = L_{x,n}.

Exemple :
y = 13 → 3*13+1 = 40 = 2^3 * 5
k = 3, n = 1, x = (10-1)/3 = 3 → 13 = L_{3,1}.
y = 3 → 3*3+1 = 10 = 2^1 * 5
k = 1, n = 0, x = (10-1)/3 = 3 → racine en colonne 0.

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Définition (Colonne d’un impair)
n = ⌊ v₂(3y+1) / 2 ⌋.

Proposition (Calcul explicite de (x,n))
Pour tout y impair :

1. m = 3y+1
2. m = 2^k * q (q impair)
3. n = ⌊k/2⌋
4. x = ((3y+1)/4^n - 1)/3

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Lemme (Unicité)
Si L_{x,n} = L_{x',n'} avec x, x' ∈ 𝒞₀ alors (x,n) = (x',n').

Preuve.
Si n ≠ n’, contradiction avec v₂(3x+1)=1.
Donc n = n’ puis x = x’.

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Lemme (Lien unique vers la colonne 0)
Si y est en colonne n ≥ 1, il existe un unique x₀ ∈ 𝒞₀ tel que y = L_{x₀,n}.

Lemme (Lien descendant strict)
Si y = L_{x₀,n} avec n ≥ 1, alors x₀ < y.

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Corollaire (Descente forcée vers 1)
Tout impair finit, après un nombre fini d’itérations de f, par atteindre une racine plus petite en colonne 0, et la suite décroît strictement jusqu’à 1.

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Lemme (Absence de cycles impairs non triviaux)
Immédiat par le corollaire précédent.

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Lemme (Absence de croissance infinie)
Il n’existe pas de suite strictement croissante infinie obtenue par la dynamique compressée ou les frères L_{x,n}.

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Exemple : Tableau compressé pour impairs ≤ 27

y	Colonne n	Racine x₀	Parent f(y)
1	0	1	1
3	0	3	5
5	0	5	1
7	0	7	11
9	0	9	7
11	0	11	17
13	1	3	5
15	0	15	23
17	0	17	13
19	0	19	29
21	0	21	16
23	1	5	1
25	0	25	19
27	0	27	41

Remarque : 13 (colonne 1, racine 3) : 3*13+1=40=2^3*5 → n = 1, x₀ = 3.
3 : 3*3+1=10=2^1*5 → n = 0.

Conclusion

La partition L_{x,n} fournit un tableau hiérarchique compressé des impairs, exhaustif et unique.
Le lien descendant strict vers la colonne 0 empêche les cycles impairs non triviaux dans f.
La structure est donc fortement restrictive et conforme à la dynamique attendue de la conjecture de Syracuse.

[Sgo]

Petite erreur dans le tableau. Voici une version corrigée allant jusqu'à 60.

y	n	racine x₀	f(y)	v₂(3y+1)
1	0	1	1	2
3	0	3	5	1
5	1	1	1	4
7	0	7	11	1
9	0	9	7	2
11	0	11	17	1
13	1	3	5	3
15	0	15	23	1
17	0	17	13	2
19	0	19	29	1
21	2	1	1	6
23	0	23	35	1
25	0	25	19	2
27	0	27	41	1
29	1	7	11	3
31	0	31	47	1
33	0	33	25	2
35	0	35	53	1
37	1	9	7	4
39	0	39	59	1
41	0	41	31	2
43	0	43	65	1
45	1	11	17	3
47	0	47	71	1
49	0	49	37	2
51	0	51	77	1
53	2	3	5	5
55	0	55	83	1
57	0	57	43	2
59	0	59	89	1