Tige articulée fixée à un poteau et coulissant sur l'autre

[michel riviere]

Deux poteaux, P1 et P2, sont fichés en terre et séparés de 1,366025 mètre ..
Au sommet A du poteau P1 nous accrochons une tige ABC longue de 2 mètres .. Cette tige ABC peut tourner autour du point fixe A, sommet du poteau .. Cette tige de 2 mètres est articulée en son mileu B, cette tige de 2 mètres est constituée de deux tiges reliées de 1 mètre chacune, AB ET BC ..
L'extrémité C de la tige articulée est reliée au poteau P2, où cette extrémité peut coulisser librement sans frottement ..
La tige articulée de 2 mètres, accrochée en A au poteau P1 et coulissant sur le poteau P2, se met en équilibre et dessine un angle en B .. Quel est cet angle ?))

[Black-Jack]

Bonjour,
Avec A comme origine et axe des ordonnées vertical vers le bas :
Soit theta1 l'angle entre l'horizontale et AB
Soit theta2 l'angle entre l'horizontale et BC
Soit alpha l'angle (ABC)

On a : cos(theta1) + cos(theta2) = 1,366025 (1)

Hauteur du centre de gravité de AB : y1 = 1/2.sin(theta1)
Hauteur du centre de gravité de BC : y2 = sin(theta1) + 1/2.sin(theta2)

Hauteur du centre de gravité de la tige ABC : yG = y1 + y2

yG = 3/4.sin(theta1) + 1/4.sin(theta2) (2)

On éliminant theta2 entre (1) et (2), on obtient : yG = 3/4.sin(theta1) + 1/4 * sqrt(1 - (1,366025-cos((theta1))²)

On aura équilibre lorsque G sera au plus bas possible --> on cherche l'extrema de yG en dérivant yG par rapport à theta1 (et on cherche son zéro).

On trouve yG'(theta1) = 0 pour theta1 = 1,047198 rad, soit 60° et avec (1), on trouve theta1 = 30°

Or on a : alpha + theta1 + (90° - theta2) + 90° = 360° (la somme des angles d'un angle quadrilatère = 360°)

--> alpha = 180° - theta1 + theta2 = 180° - 60° + 30° = 150°

L'angle(ABC) = 150°

[michel riviere]

Merci black-Jack , j'ai pu de justesse avoir accès au forum et voir ta réponse ..

[michel riviere]

@Black-Jack
Black-Jack tu es un ange ..
Aurais-tu la gentillesse de développer, pour moi novice en maths, ta solution ?
Explique grosso modo le circuit du raisonnement, les équations que tu as posées et leur résolution .. (par exemple Ep à minimiser et contrainte) .. Explique comme si tu parlais à un élève de 3ème .. Tu peux aussi faire des schémas si tu veux ..
Quel est le niveau en maths nécessaire pour trouver cette solution ? Terminale ou Fac ?

[Black-Jack]

@michel-riviere

Dessin commenté :
y1 repère le centre de gravité de AB (qui est au milieu de AB)
y2 repère le centre de gravité de BC (qui est au milieu de BC)

Le centre de gravité de l'ensemble est au milieu des 2 centres de gravité ci/dessus, donc son ordonnée est yG = (y1+y2)/2

On s'arrange ensuite pour éliminer theta 2 de la relation donnant yG ... et on cherche la valeur de theta 1 pour que G soit au plus bas (simple étude des variation de la fonction yG = f(thera1)).

Ce theta1 trouvé, on en déduit theta2 et l'angle(ABC) demandé.

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Quant au niveau nécessaire, je n'en sais rien. Quand j'étais en Secondaire (il y a 5 décennies), on pouvait faire cela en Seconde (mais ce n'était pas en France).
Maintenant et en France ... je ne sais pas.

[michel riviere]

Merci Black Jack du fond du coeur ..