Propriétés des bissectrices...



  • Première propriété
    Soit un cercle de centre O circonscrit à trois points A, B, C.
    Soit M le point d'intersection de la
    bissectricede l'angle  et du cercle.

    http://pix.nofrag.com/e5/b3/7354e632afca5ff7c62f73f3813e.jpg
    Préciser la position du point M.

    coquille rectifiée, marci Madvin



  • Propriété : la bissectrice de BAC coupe l'arc BC intercepté en son milieu M.

    En effet, les angles inscrits BAM et MAC sont égaux ; les angles au centre correspondants BOM et MOC sont donc aussi égaux. On en déduit que les arcs BM et MC sont égaux.



  • Deuxième propriété
    Avec les mêmes notations, soit de plus I le centre du cercle inscrit dans ABC.

    http://pix.nofrag.com/10/76/c379c1cd63098a1cfd2d1ae08269.jpg
    Déterminer le centre du cercle circonscrit à BCI.



  • Zauctore

    Première propriété
    Soit un cercle de centre O circonscrit à trois points A, B, C.
    Soit M le point d'intersection de la médiatrice de l'angle  et du cercle.

    http://pix.nofrag.com/e5/b3/7354e632afca5ff7c62f73f3813e.jpg
    Préciser la position du point M.

    Depuis quand un angle a-t-il une médiatrice je vous prie mon cher ? 😲

    A corriger en utilisant bissec 😁.

    Et puis t'as déjà donné la réponse ? :frowning2: J'ai même pas pu chercher... :frowning2:
    Mais apparemment j'aurais pas trouvé. Faut utiliser quelle propriété pour déduire de BAM = CAM que BOM = COM ?

    [EDIT] J'aurais pu corriger moi-même mais je n'ose pas toucher les écritures du maître... 😉



  • Zauctore

    Deuxième propriété
    Avec les mêmes notations, soit de plus I le centre du cercle inscrit dans ABC.

    http://pix.nofrag.com/10/76/c379c1cd63098a1cfd2d1ae08269.jpg
    Déterminer le centre du cercle circonscrit à BCI.

    Bon pour celui-ci, il est tard, je suis fatigué, alors je vais juste commencer...

    Soit un point J.
    J est le centre du cercle circonscrit au triangle BCI si et seulement si BJ = CJ = IJ et ce point est unique (faut pas le démontrer ça au moins ?😁 ...quoique ça pourrait-être intéressant... :rolling_eyes: )

    Or ton dessin donne la réponse. (t'aurais peut-être pas dû 😉)
    Il faut en fait montrer que ce point J n'est rien d'autre que le point M.

    Donc il suffit juste de montrer que IM = BM = CM.

    Or d'après la première propriété, on sait que BM = CM.
    Manque plus qu'à prouver l'égalité avec IM...

    Oui je sais je me suis pas foulé mais il est tard... 😁



  • Pour ton post de 1:52, c'est le théorème de l'angle au centre qui joue : l'angle au centre est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.

    Pour celui de 2:16, c'est justement l'égalité avec cette dernière longueur qui n'est pas si facile.



  • Zauctore
    Pour ton post de 1:52, c'est le théorème de l'angle au centre qui joue : l'angle au centre est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.

    Ah bon ?? 😲
    Ca me dit absolument rien cette propriété, je n'en ai aucun souvenir...
    Donc pour notre cas si j'ai bien compris, cela signifie que :

    BOM = 2 BAM
    et que
    COM = 2 CAM.

    Comme BAM = CAM,
    on a donc BOM = 2 BAM = 2 CAM = COM.

    CQFD

    Zauctore

    Pour celui de 2:16, c'est justement l'égalité avec cette dernière longueur qui n'est pas si facile.

    Ben voui, c'est la raison pour laquelle je m'en suis pas chargé... 😉 J'ai pas trrouvé l'astuce encore...



  • Voici la configuration de base (avec un côté diamètre) pour prouver le théorème de l'angle au centre...

    http://pix.nofrag.com/b4/a7/6257b680802751c07965e472ca3a.jpg
    A toi de voir pourquoi (beta) = 2 (alpha), et comment on traite les autres cas de figure...



  • Zauctore
    Voici la configuration de base (avec un côté diamètre) pour prouver le théorème de l'angle au centre...

    http://pix.nofrag.com/b4/a7/6257b680802751c07965e472ca3a.jpg
    A toi de voir pourquoi (beta) = 2 (alpha), et comment on traite les autres cas de figure...

    Le triangle AOB est isocèle en O car OA = OB

    donc OAB = OBA = (alpha)

    donc AOB = pipi - 2 (alpha)

    Comme A, O et C sont alignés, alors AOC = AOB + BOC = pipi

    donc BOC = (beta) = pipi - (pipi - 2 (alpha)) = 2 (alpha)

    CQFD



  • Voici la figure pour le cas général :

    http://pix.nofrag.com/16/eb/b0173c09ab0d65f158d426bbcd92.jpg



  • madvin
    Voici la figure pour le cas général :

    http://pix.nofrag.com/16/eb/b0173c09ab0d65f158d426bbcd92.jpg
    Alors il faut donc démontrer également que (beta) = 2 (alpha)

    Le triangle OAB est isocèle en O car OA = OB.

    Soit (gamma) = OAB = OBA
    donc AOB = pipi - 2 (gamma)

    Le triangle AOC est isocèle en O car OA = OC.

    Soit (delt) = OAC = OCA
    donc AOC = pipi - 2 (delt)

    Or AOB + BOC + COA = 2 pipi
    donc pipi - 2 (gamma) + (beta) + pipi - 2 (delt) = 2 pipi
    donc - 2 (gamma) + (beta) - 2 (delt) = 0
    donc (beta) = 2 ((gamma) + (delt))

    Or CAB = OAB + OAC
    donc (alpha) = (gamma) + (delt)

    Donc (beta) = 2 (alpha)

    CQFD

    La classe... 🆒 Mais c'était à ma portée ça... Par contre pour en revenir à la deuxième propriété de la bissectrice, c'est autre chose... :rolling_eyes: Faut utiliser une autre propriété géométrique ou uniquement des déductions élémentaires ?



  • Hé attends un peu ! tu n'as envisagé que le cas de figure où le centre est contenu "dans" l'angle (alpha)...

    Sinon, on peut montrer sans propriété alambiquée que BIM est isocèle...



  • Preuve sans parole de la propriété 2

    Il restait à montrer par exemple que BM = MI n'est-ce pas.
    Avec les angles :

    http://pix.nofrag.com/13/4f/3841550dfa28b9cfebaeb9776599.jpg
    Les angles BIM (gris) et MBI sont égaux...



  • Zauctore
    Hé attends un peu ! tu n'as envisagé que le cas de figure où le centre est contenu "dans" l'angle (alpha)...

    Rolala t'es dur... Y a aucun moyen pour démontrer tous les cas en même temps ?
    Bon ben je reprends alors...



  • Voici les différents cas que l'on peut envisager :

    Cas 1 : O se trouve dans le triangle ABC

    http://pix.nofrag.com/16/eb/b0173c09ab0d65f158d426bbcd92.jpg

    Démontrer que (beta) = 2 (alpha)

    Cas 2 : O est à l'extérieur du triangle ABC et A est situé sur le grand arc BC

    http://pix.nofrag.com/b1/6b/0845f647f35a623894ae160bb98a.jpg

    Démontrer que (beta) = 2 (alpha)

    Cas 3 : O est à l'extérieur du triangle ABC et A est situé sur le petit arc BC

    http://pix.nofrag.com/78/4c/221fa0b598da6816193b63f1ea5f.jpg

    Démontrer que (beta) = 2 (pipi - (alpha))



  • Démonstrations:

    Cas 1 :

    Voir message précédent posté le 27.07.2006, 19:00.
    On y a démontré que (beta) = 2 (alpha).

    Cas 2 :

    http://pix.nofrag.com/ab/61/2a7957eb3c00e920feb424e9576c.jpg

    Soit les notations rajoutées sur le dessin précédent.
    ADB et CDO sont opposés par le sommet donc ADB = CDO = (theta)

    Le triangle ABO est isocèle en O car AO = BO
    donc OAB = OBA = (omega) = (alpha) + (omeg) (1)

    Le triangle ACO est isocèle en O car AO = CO
    donc OAC = OCA = (omeg) (2)

    La somme des angles d'un triangle est égal à pipi
    donc dans le triangle ABD, on a pipi = (alpha) + (theta) + (omega) (3)
    donc dans le triangle CDO, on a pipi = (omeg) + (beta) + (theta) (4)

    En faisant (3) - (4), on obtient :

    0 = (alpha) + (omega) - (omeg) - (beta)
    donc (beta) = (alpha) + (omega) - (omeg)

    Or d'après (1), (omega) - (omeg) = (alpha)

    donc (beta) = (alpha) + (alpha)
    donc (beta) = 2 (alpha)

    CQFD

    Cas 3 :

    http://pix.nofrag.com/09/f9/f8aba9b28f6930419342edf0b91c.jpg

    Soit les notations rajoutées sur le dessin précédent.

    Le triangle OAC est isocèle en O car OA = OC
    donc OCA = OAC = (theta) (1)
    et pipi = AOC + 2 (theta) (2)

    Le triangle OAB est isocèle en O car OA = OB
    donc OBA = OAB = (omega) (3)
    et pipi = AOB + 2 (omega) (4)

    Or CAB = (alpha) = OAC + OAB
    donc d'après (1) et (3) (alpha) = (theta) + (omega) (5)

    De plus BOC = (beta) = AOB + AOC (6)

    Or en faisant (2) + (4) on obtient
    2 pipi = AOB + AOC + 2 ((theta) + (omega))
    ce qui fait d'après (5) et (6)
    2 pipi = (beta) + 2 (alpha)
    donc (beta) = 2 (pipi - (alpha))

    CQFD



  • Content ?? 😛

    Manque plus qu'à démontrer cette deuxième propriété de la bissectrice...

    Je le ferai plus tard je dois partir...



  • Zauctore

    Preuve sans parole de la propriété 2

    Il restait à montrer par exemple que BM = MI n'est-ce pas.
    Avec les angles :

    http://pix.nofrag.com/13/4f/3841550dfa28b9cfebaeb9776599.jpg
    Les angles BIM (gris) et MBI sont égaux...

    Bon ben je vais essayer mais je garantie rien...

    (BI) est la bissectrice de l'angle ABC
    donc ABI = IBC (1)

    La somme des angles d'un triangle est égale à pipi
    donc pour le triangle ABI, on a pipi = BAI + ABI + AIB (2)

    A, I et M sont alignés
    donc AIM = pipi = AIB + BIM (3)

    Or en faisant (2) - (3) on obtient
    0 = BAI + ABI - BIM
    donc BIM = BAI + ABI (4)

    Or d'après (1),
    on obtient BIM = BAI + IBC

    Et là je bloque... il me manque juste à montrer que MBC = BAI



  • On a MBC = MAC (angles inscrits interceptant le même arc),
    puis MAC = BAM (bissectrice)
    d'où ce qu'il te fallait.



  • Zauctore
    On a MBC = MAC (angles inscrits interceptant le même arc),
    puis MAC = BAM (bissectrice)
    d'où ce qu'il te fallait.

    Ah ben voilà !! Je savais bien qu'il fallait utiliser une propriété que je ne connaissais pas... :frowning2:

    "angles inscrits interceptant le même arc" : je n'ai absolument aucun souvenir de cette propriété !! Etait-elle vraiment enseignée y a 10ans ? M'en souvient vraiment pas 😕...

    Mais bon elle découle de toute façon de la propriété "l'angle au centre est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc" qu'on a démontré un peu plus haut... 😉



  • Je reprends et je finis donc :

    Zauctore

    Preuve sans parole de la propriété 2

    Il restait à montrer par exemple que BM = MI n'est-ce pas.
    Avec les angles :

    http://pix.nofrag.com/13/4f/3841550dfa28b9cfebaeb9776599.jpg
    Les angles BIM (gris) et MBI sont égaux...

    (BI) est la bissectrice de l'angle ABC
    donc ABI = IBC (1)

    MBC et MAC sont des angles inscrits interceptant le même arc
    donc MBC = MAC (2)

    (AI) est la bissectrice de l'angle BAC
    donc BAM = MAC
    et d'après (2)
    BAM = MBC (3)

    La somme des angles d'un triangle est égale à pipi
    donc pour le triangle ABI, on a pipi = BAM + ABI + AIB (4)

    A, I et M sont alignés
    donc AIM = pipi = AIB + BIM (5)

    Or en faisant (4) - (5) on obtient
    0 = BAM + ABI - BIM
    donc BIM = BAM + ABI

    Or d'après (1),
    on obtient BIM = BAM + IBC

    Et d'après (3),
    on obtient BIM = MBC + IBC = IBM

    On a donc montré que BIM = IBM
    donc le triangle IBM est isocèle en M
    donc BM = MI

    On a ainsi montré que BM = CM = MI
    donc par définition,
    M est le centre du cercle circonscrit au triangle BCI.

    CQFD ouf ! :rolling_eyes:


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