Propriétés des bissectrices...

[Zauctore]

Première propriété
Soit un cercle de centre O circonscrit à trois points A, B, C.
Soit M le point d'intersection de la
bissectricede l'angle  et du cercle.

Préciser la position du point M.

coquille rectifiée, marci Madvin

[Zauctore]

Propriété : la bissectrice de BAC coupe l'arc BC intercepté en son milieu M.

En effet, les angles inscrits BAM et MAC sont égaux ; les angles au centre correspondants BOM et MOC sont donc aussi égaux. On en déduit que les arcs BM et MC sont égaux.

[Zauctore]

Deuxième propriété
Avec les mêmes notations, soit de plus I le centre du cercle inscrit dans ABC.

Déterminer le centre du cercle circonscrit à BCI.

[madvin]

Zauctore

Première propriété
Soit un cercle de centre O circonscrit à trois points A, B, C.
Soit M le point d'intersection de la médiatrice de l'angle  et du cercle.

Préciser la position du point M.

Depuis quand un angle a-t-il une médiatrice je vous prie mon cher ?

A corriger en utilisant bissec .

Et puis t'as déjà donné la réponse ? :frowning2: J'ai même pas pu chercher... :frowning2:
Mais apparemment j'aurais pas trouvé. Faut utiliser quelle propriété pour déduire de BAM = CAM que BOM = COM ?

[EDIT] J'aurais pu corriger moi-même mais je n'ose pas toucher les écritures du maître...

[madvin]

Zauctore

Deuxième propriété
Avec les mêmes notations, soit de plus I le centre du cercle inscrit dans ABC.

Déterminer le centre du cercle circonscrit à BCI.

Bon pour celui-ci, il est tard, je suis fatigué, alors je vais juste commencer...

Soit un point J.
J est le centre du cercle circonscrit au triangle BCI si et seulement si BJ = CJ = IJ et ce point est unique (faut pas le démontrer ça au moins ? ...quoique ça pourrait-être intéressant... :rolling_eyes: )

Or ton dessin donne la réponse. (t'aurais peut-être pas dû )
Il faut en fait montrer que ce point J n'est rien d'autre que le point M.

Donc il suffit juste de montrer que IM = BM = CM.

Or d'après la première propriété, on sait que BM = CM.
Manque plus qu'à prouver l'égalité avec IM...

Oui je sais je me suis pas foulé mais il est tard...

[Zauctore]

Pour ton post de 1:52, c'est le théorème de l'angle au centre qui joue : l'angle au centre est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.

Pour celui de 2:16, c'est justement l'égalité avec cette dernière longueur qui n'est pas si facile.

[madvin]

Zauctore
Pour ton post de 1:52, c'est le théorème de l'angle au centre qui joue : l'angle au centre est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.

Ah bon ??
Ca me dit absolument rien cette propriété, je n'en ai aucun souvenir...
Donc pour notre cas si j'ai bien compris, cela signifie que :

BOM = 2 BAM
et que
COM = 2 CAM.

Comme BAM = CAM,
on a donc BOM = 2 BAM = 2 CAM = COM.

CQFD

Zauctore

Pour celui de 2:16, c'est justement l'égalité avec cette dernière longueur qui n'est pas si facile.

Ben voui, c'est la raison pour laquelle je m'en suis pas chargé... J'ai pas trrouvé l'astuce encore...

[Zauctore]

Voici la configuration de base (avec un côté diamètre) pour prouver le théorème de l'angle au centre...

A toi de voir pourquoi (beta) = 2 (alpha), et comment on traite les autres cas de figure...

[madvin]

Zauctore
Voici la configuration de base (avec un côté diamètre) pour prouver le théorème de l'angle au centre...

A toi de voir pourquoi (beta) = 2 (alpha), et comment on traite les autres cas de figure...

Le triangle AOB est isocèle en O car OA = OB

donc OAB = OBA = (alpha)

donc AOB = $pi$ - 2 (alpha)

Comme A, O et C sont alignés, alors AOC = AOB + BOC = $pi$

donc BOC = (beta) = $pi$ - ($pi$ - 2 (alpha)) = 2 (alpha)

CQFD

[madvin]

Voici la figure pour le cas général :

[madvin]

madvin
Voici la figure pour le cas général :

Alors il faut donc démontrer également que (beta) = 2 (alpha)

Le triangle OAB est isocèle en O car OA = OB.

Soit (gamma) = OAB = OBA
donc AOB = $pi$ - 2 (gamma)

Le triangle AOC est isocèle en O car OA = OC.

Soit (delt) = OAC = OCA
donc AOC = $pi$ - 2 (delt)

Or AOB + BOC + COA = 2 $pi$
donc $pi$ - 2 (gamma) + (beta) + $pi$ - 2 (delt) = 2 $pi$
donc - 2 (gamma) + (beta) - 2 (delt) = 0
donc (beta) = 2 ((gamma) + (delt))

Or CAB = OAB + OAC
donc (alpha) = (gamma) + (delt)

Donc (beta) = 2 (alpha)

CQFD

La classe... Mais c'était à ma portée ça... Par contre pour en revenir à la deuxième propriété de la bissectrice, c'est autre chose... :rolling_eyes: Faut utiliser une autre propriété géométrique ou uniquement des déductions élémentaires ?

[Zauctore]

Hé attends un peu ! tu n'as envisagé que le cas de figure où le centre est contenu "dans" l'angle (alpha)...

Sinon, on peut montrer sans propriété alambiquée que BIM est isocèle...

[Zauctore]

Preuve sans parole de la propriété 2

Il restait à montrer par exemple que BM = MI n'est-ce pas.
Avec les angles :

Les angles BIM (gris) et MBI sont égaux...

[madvin]

Zauctore
Hé attends un peu ! tu n'as envisagé que le cas de figure où le centre est contenu "dans" l'angle (alpha)...

Rolala t'es dur... Y a aucun moyen pour démontrer tous les cas en même temps ?
Bon ben je reprends alors...

[madvin]

Voici les différents cas que l'on peut envisager :

Cas 1 : O se trouve dans le triangle ABC

Démontrer que (beta) = 2 (alpha)

Cas 2 : O est à l'extérieur du triangle ABC et A est situé sur le grand arc BC

Démontrer que (beta) = 2 (alpha)

Cas 3 : O est à l'extérieur du triangle ABC et A est situé sur le petit arc BC

Démontrer que (beta) = 2 ($pi$ - (alpha))

[madvin]

Démonstrations:

Cas 1 :

Voir message précédent posté le 27.07.2006, 19:00.
On y a démontré que (beta) = 2 (alpha).

Cas 2 :

Soit les notations rajoutées sur le dessin précédent.
ADB et CDO sont opposés par le sommet donc ADB = CDO = (theta)

Le triangle ABO est isocèle en O car AO = BO
donc OAB = OBA = (omega) = (alpha) + (omeg) (1)

Le triangle ACO est isocèle en O car AO = CO
donc OAC = OCA = (omeg) (2)

La somme des angles d'un triangle est égal à $pi$
donc dans le triangle ABD, on a $pi$ = (alpha) + (theta) + (omega) (3)
donc dans le triangle CDO, on a $pi$ = (omeg) + (beta) + (theta) (4)

En faisant (3) - (4), on obtient :

0 = (alpha) + (omega) - (omeg) - (beta)
donc (beta) = (alpha) + (omega) - (omeg)

Or d'après (1), (omega) - (omeg) = (alpha)

donc (beta) = (alpha) + (alpha)
donc (beta) = 2 (alpha)

CQFD

Cas 3 :

Soit les notations rajoutées sur le dessin précédent.

Le triangle OAC est isocèle en O car OA = OC
donc OCA = OAC = (theta) (1)
et $pi$ = AOC + 2 (theta) (2)

Le triangle OAB est isocèle en O car OA = OB
donc OBA = OAB = (omega) (3)
et $pi$ = AOB + 2 (omega) (4)

Or CAB = (alpha) = OAC + OAB
donc d'après (1) et (3) (alpha) = (theta) + (omega) (5)

De plus BOC = (beta) = AOB + AOC (6)

Or en faisant (2) + (4) on obtient
2 $pi$ = AOB + AOC + 2 ((theta) + (omega))
ce qui fait d'après (5) et (6)
2 $pi$ = (beta) + 2 (alpha)
donc (beta) = 2 ($pi$ - (alpha))

CQFD

[madvin]

Content ??

Manque plus qu'à démontrer cette deuxième propriété de la bissectrice...

Je le ferai plus tard je dois partir...

[madvin]

Zauctore

Preuve sans parole de la propriété 2

Il restait à montrer par exemple que BM = MI n'est-ce pas.
Avec les angles :

Les angles BIM (gris) et MBI sont égaux...

Bon ben je vais essayer mais je garantie rien...

(BI) est la bissectrice de l'angle ABC
donc ABI = IBC (1)

La somme des angles d'un triangle est égale à $pi$
donc pour le triangle ABI, on a $pi$ = BAI + ABI + AIB (2)

A, I et M sont alignés
donc AIM = $pi$ = AIB + BIM (3)

Or en faisant (2) - (3) on obtient
0 = BAI + ABI - BIM
donc BIM = BAI + ABI (4)

Or d'après (1),
on obtient BIM = BAI + IBC

Et là je bloque... il me manque juste à montrer que MBC = BAI

[Zauctore]

On a MBC = MAC (angles inscrits interceptant le même arc),
puis MAC = BAM (bissectrice)
d'où ce qu'il te fallait.

[madvin]

Zauctore
On a MBC = MAC (angles inscrits interceptant le même arc),
puis MAC = BAM (bissectrice)
d'où ce qu'il te fallait.

Ah ben voilà !! Je savais bien qu'il fallait utiliser une propriété que je ne connaissais pas... :frowning2:

"angles inscrits interceptant le même arc" : je n'ai absolument aucun souvenir de cette propriété !! Etait-elle vraiment enseignée y a 10ans ? M'en souvient vraiment pas ...

Mais bon elle découle de toute façon de la propriété "l'angle au centre est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc" qu'on a démontré un peu plus haut...

[madvin]

Je reprends et je finis donc :

Zauctore

Preuve sans parole de la propriété 2

Il restait à montrer par exemple que BM = MI n'est-ce pas.
Avec les angles :

Les angles BIM (gris) et MBI sont égaux...

(BI) est la bissectrice de l'angle ABC
donc ABI = IBC (1)

MBC et MAC sont des angles inscrits interceptant le même arc
donc MBC = MAC (2)

(AI) est la bissectrice de l'angle BAC
donc BAM = MAC
et d'après (2)
BAM = MBC (3)

La somme des angles d'un triangle est égale à $pi$
donc pour le triangle ABI, on a $pi$ = BAM + ABI + AIB (4)

A, I et M sont alignés
donc AIM = $pi$ = AIB + BIM (5)

Or en faisant (4) - (5) on obtient
0 = BAM + ABI - BIM
donc BIM = BAM + ABI

Or d'après (1),
on obtient BIM = BAM + IBC

Et d'après (3),
on obtient BIM = MBC + IBC = IBM

On a donc montré que BIM = IBM
donc le triangle IBM est isocèle en M
donc BM = MI

On a ainsi montré que BM = CM = MI
donc par définition,
M est le centre du cercle circonscrit au triangle BCI.

CQFD ouf ! :rolling_eyes: