Suites usuelles Prepa HEC



  • Bonjour tout le monde, voila je bloque un peu sur un exercice qui pourtant me parait etre au niveau terminale mais bon.

    On me donne:

    Soit (Un) n∈N*, la suite definie par U1U_1 = -10
    Un+1U_{n+1} = Un - 2

    1. Donner une expression Un en fonction de n*

    Je sais que Un = U1U_1 + nr
    Donc j'en déduis que Un = U1U_1 - 2n soit Un = -10 -2n

    2. Calculer Sn = n
    ∑ Uk en fontion de n.
    k=1

    La j'ai penser à la formule Sn = nombre de terme x (1er terme + dernier terme) / 2
    Cependant je n'ai jamais appliquer cette forume

    Je trouve donc Sn = n(-22-2n) / 2 (je n'ai pas mis le detail c'est long a écrire sauf si vous voulez comprendre ma démarche lol)

    3. Calculer Tp,n = n
    ∑ Uk en fonction de p et n , pour p ≤ n.
    k=p

    Je ne comprend pas bien ce qu'on me demande dans la derniere question.

    Voila j'espere que vous pourrez maider Merci 😕



  • Bonjour,

    Appliquer la formule Sn = nombre de terme x (1er terme + dernier terme) / 2

    Quel est le 1er terme ?

    Quel est le dernier terme ?

    Combien y a t il de termes du 1er au nième ?

    et il me semble que -10 - 10 = -20 et non -22



  • Pour ceux que ça intéresse, la question 3 doit se lire : calculer
    tp,n=k=pk=nukt_{p,n}=\sum_{k=p}^{k=n} u_k
    en fonction de p et n.

    En fait, on a
    tp,n=k=1k=nukk=1k=p1ukt_{p,n}=\sum_{k=1}^{k=n} u_k - \sum_{k=1}^{k=p-1} u_k
    ce qui doit permettre à la posteuse initiale de répondre à sa question.

    @+



  • Zorro
    Bonjour,

    Appliquer la formule Sn = nombre de terme x (1er terme + dernier terme) / 2

    Quel est le 1er terme ?

    Quel est le dernier terme ?

    Combien y a t il de termes du 1er au nième ?

    et il me semble que -10 - 10 = -20 et non -22

    En fait j'ai développer
    n
    ∑ Uk ---> U1 + U2 + ... + Un
    k=1
    Ce qui nous fait : (-10-2) + (-10-4) + ... + (-10 - 2n)

    a la suite de ça j'ai pris le 1er terme et le dernier terme : (-10 -2 -10 -2n) /2
    = -22 - 2n / 2

    Il y a n termes donc je trouve n(-22-2n) / 2
    Je comrpend pas ce que tu veux me dire ?



  • Somme des n premiers termes :

    k=1nuk=u1++un=n×u1+un2\sum_{k=1}^{n} u_k = u_1 + \cdots + u_n = n \times \frac{u_1+u_n}{2}

    sachant que

    u1=10,un=102nu_1 = -10, \quad u_n = -10-2n

    d'où le résultat en fonction de n :

    k=1nuk=20n2n22\sum_{k=1}^{n} u_k = \frac{-20n-2n^2}{2}

    ce qui permet de donner la réponse à la question 3, avec ce que j'en ai déjà écrit.



  • Ah d'accord je n'avais pas vu sa comme ca je vais reflechir a la question 3.

    Merciii :razz:



  • Zauctore
    Pour ceux que ça intéresse, la question 3 doit se lire : calculer
    tp,n=k=pk=nukt_{p,n}=\sum_{k=p}^{k=n} u_k
    en fonction de p et n.

    En fait, on a
    tp,n=k=1k=nukk=1k=p1ukt_{p,n}=\sum_{k=1}^{k=n} u_k - \sum_{k=1}^{k=p-1} u_k
    ce qui doit permettre à la posteuse initiale de répondre à sa question.

    @+



  • Désolé, j'ai dû aller un peu vite en besogne...

    $\begin{align*}t_{p,n}&=\sum_{k=p}^n u_k \ \quad \ &=u_p+u_{p+1}+u_{p+2}+\cdots+u_n \ \quad \ &=u_1+\cdots+u_n - (u_1+\cdots+u_{p-1}) \ \quad \ &=\sum_{k=1}^n u_k - \sum_{k=1}^{p-1} u_k.\end{align*}$

    Lis ceci attentivement.

    La finalité de l'exercice consiste à déterminer dans le cas particulier de ta suite une formule pour calculer la somme des termes de la suite compris entre les rangs p et n, en fonction de ces deux entiers.



  • Kikounette

    D'après cela j'ai fait:
    -10n- n² - (U1(U_1 + U2U_2 + ... + Up1U_{p-1})

    -10n- n² - [
    n(-10+
    U_{p-1}$)] / 2
    et la je bloque a nouveau j'ai aussi l'impression que je ne suis pas dans la bonne direction.

    En
    rouge, il y a une erreur ; en
    bleu, tu peux faire mieux.



  • Zauctore
    Kikounette

    D'après cela j'ai fait:
    -10n- n² - (U1(U_1 + U2U_2 + ... + Up1U_{p-1})

    -10n- n² - [
    n(-10+
    U_{p-1}$)] / 2
    et la je bloque a nouveau j'ai aussi l'impression que je ne suis pas dans la bonne direction.

    En
    rouge, il y a une erreur ; en
    bleu, tu peux faire mieux.

    Mais si Sn = n(1er terme + dernier terme) / 2
    ca ne fait pas n(-10 -10-2n) / 2 --> -10n-10n -2n²/2
    -20n -2n² /2 = -10n-n²

    ???



  • Si, tu as raison ; mille excuses : continue.
    C'est en bleu le problème.



  • Je ne vois pas comment transformer pn-1 dsl



  • Ok ; on a vu que, pour tout n

    k=1nuk=10nn2\sum_{k=1}^n u_k = -10n-n^2

    donc de même

    k=1p1uk=10(p1)(p1)2\sum_{k=1}^{p-1} u_k = -10(p-1)-(p-1)^2

    car il suffit de remplacer n par p-1 dans la 1ère formule.

    Alors tu as

    tp,n=10nn2(10(p1)(p1)2)t_{p,n} = -10n-n^2-\left(-10(p-1)-(p-1)^2\right)

    ce que je te laisse arranger un peu.



  • Merci Zauctore mais tu peut me reexpliquer encore une fois comme on passe de ca
    tp,n=k=pk=nukt_{p,n}=\sum_{k=p}^{k=n} u_k
    à ca:
    tp,n=k=1k=nukk=1k=p1ukt_{p,n}=\sum_{k=1}^{k=n} u_k - \sum_{k=1}^{k=p-1} u_k.

    J'ai pas compris!!



  • C'est l'égalité

    up+up+1+up+2++un=u1++un(u1++up1)u_p+u_{p+1}+u_{p+2}+\cdots+u_n =u_1+\cdots+u_n - (u_1+\cdots+u_{p-1})
    qui dit tout :

    • à gauche c'est la somme de p à n
    • à droite on la forme par différence : la somme de 1 à n moins celle de 1 à p-1.


  • Merci Zauctore pour ton aide cependant je reviens avec un autre problème que j'ai avec les sommes lol.
    On me donne An = -1/2(n+3)
    On me demande de trouver n
    ∑ Ak
    k=0

    Ce qui revient à
    n
    ∑ -1/2(k+3)
    k=0

    -1/2 ∑ (k+3) --> j'ai rien mis au dessus ni en dessous de la somme pck c'est dur a mettre lol.

    -1/2∑ k + -1/2∑ 3

    -1/2 x n(n+1) / 2 + -1/2 x 3n

    et je trouve quelque chose = -n²-7n / 4

    Ai-je utiliser la bonne méthode? et je voudrai savoir comment je peux verifier que je trouve la bonne somme.

    Merci 😉



  • Il me semble que c'est (n+1) fois 3, non ? car on compte de k=0 à k=n, ce qui fait n+1 apparitions deu terme 3.



  • Salut ; pour vérifier la/les formule/s que tu proposes... vois l'application Sigma sur le site WIMS, qui permet de calculer la somme de 0 à 100 (par exemple) des termes uku_k : elle donne -2676,5. Tu peux comparer avec la valeur pour n=100 produite par la formule que tu écris.

    Remarque : tape Sigma dans le champ "Chercher" pour trouver l'application.



  • nan an= -1/2(n+3) c'est ca l'énoncé. C'est ca que tu me demande ou c'est ce que j'ai fait comme calcul qui ne va pas?



  • c'est ce que tu as écrit à cette ligne :

    "-1/2 x n(n+1) / 2 + -1/2 x 3
    n"



  • Ah oui effectivement je n'ai pas encore le reflexe. Encore une toute petite question comment calculer :

    n
    51k5^{1-k}.
    k=0


  • Modérateurs

    Salut.

    En repérant que

    k=0n51k=5×k=0n(15)k\displaystyle \sum_{k=0}^{n}5^{1-k}=5 \times \sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{5}\right)^{k}

    Il y a de la somme des termes d'une suite géométrique dans l'air. 😉

    @+



  • Hinhin. Bien vu.
    Merci!!!



  • Bonjour, j'ai encore un petit problème à résoudre sur les suites.
    On me donne la suite (Un) définie par U0U_0 = 1 et Un+1U_{n+1} = 1/2 x UnU_n+n²+n.
    Et pour tout n∈mathbbNmathbb{N}, on pose Vn= UnU_n-2n²+ 6n -8

    1. Démontrer que Vn est géométrique

    Je sais qu'une suite géométrique est défnie par Vn+1V_{n+1}=q.VnV_n.

    Donc je fait: Vn+1V_{n+1} = Un+1U_{n+1} -2n² + 6n - 8
    = 1/2 x UnU_n +n² +n -2n²+ 6n -8
    = 1/2 x UnU_n -n² +7n -8

    Après j'ai essayer de nombreux calculs mais je ne vois pas comment parvenir a retrouver Vn dans l'équation.


  • Modérateurs

    Salut.

    J'ai pas bien compris. C'est quoi l'expression de VnV_n ?

    Vn+1V_{n+1} = Un+1U_{n+1} -2n²-8
    = 1/2 x UnU_n +n² +n -2n²**+6n** -8

    Tu as rajouté un 6n en cours de route.

    @+



  • Oui en fait il y a eu un bug et j'ai oublié de les réecrire mais le 6n est là dès le départ d'ou le 7n.
    J'ai corrigé l'énoncé



  • Mais j'ai toujours le même problème! lol


 

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