Etudier les limites, la dérivée et les variations d'une fonction



  • Bonjour à tous,

    On appelle "élasticité" de la demande par rapport au prix, le nombre :
    E(p) = p × [ f'(p) / f(p) ] pour p ∈ [2; +∞[

    avec :

    f'(p) = [-21 600 000p² - 60 000 000] / [ 36p² - 100]²
    f(p) = [105[10^5 × 6p)] / [ 36p² - 100]
    Je ne sais pas si c'est utile, mais on me dit aussi avant que p est initialement égal à 2,5 €.

    On admettra que ce réel donne une bonne approximation du pourcentage de variation de la demande, pour une augmentation de 1% du prix donné.

    1. Etablissez l'égalité :
      E(p) = 1 - [(72 p²) / (36p² -100) ]

    2. Etudiez la lim de E(p), lorsque p tend vers +∞

    3. Calculez E'(p) où p désigne la dérivée de E et déduisez-en son tableau de variation.

    Pourriez-vous m'éclairer car je suis vraiment pomé sur ces questions ?



  • Bonjour,

    • Tu connais E(p) en fonction de f'(p) et de f(p).
    • Tu connais f'(p)
    • Tu connais f(p)

    Il n'est donc pas difficile de trouver E(p).

    Telle que E(p) est écrite, sa limite est en effet indéterminée. Mais c'est un cas d'indétermination standard : une fraction de polynômes.
    Pour se débloquer, il faut factoriser le numérateur et le dénominateur par la plus grosse puissance de p apparaissant dans la fraction, puis tu simplifies le numérateur et le dénominateur en supprimant ces expressions (les 2 puissances de p).
    Tu peux alors trouver facilement la limite.

    • Tu connais l'expression de E(p).
      Calculer sa dérivée E'(p) et en déduire son tableau de variation sont des questions habituelles : revoit ton cours et les exercices que tu as déjà fait à ce sujet.


  • De loin calculer E(p) a l'air simple, mais avec autant de 10^x, je n'y arrive pas.
    Pourrais-tu au - me dire si tu y arrives, car chez moi impossible.

    Pour la lim,
    la lim de 1 = 1
    la lim de 72p² / 36 p² = 2

    donc lim de e(p) = 2- 1 = 1 ??
    est-ce que c'est ca ou je suis à l'ouest total ?



  • Animatrix
    De loin calculer E(p) a l'air simple, mais avec autant de 10^x, je n'y arrive pas.
    Pourrais-tu au - me dire si tu y arrives, car chez moi impossible.

    Oui oui j'y arrive. La méthode à utiliser est de :

    • Calculer p × [ f'(p) / f(p) ] et de mettre cette expression sous forme de fraction simplifiée.
    • Calculer 1 - [(72 p²) / (36p² -100) ] et de mettre cette expression sous forme de fraction simplifiée.
    • Montrer que les fractions simplifiées de ces 2 expressions sont identiques

    Animatrix

    Pour la lim,
    la lim de 1 = 1
    la lim de 72p² / 36 p² = 2

    donc lim de e(p) = 2- 1 = 1 ??
    est-ce que c'est ca ou je suis à l'ouest total ?

    Non c'est presque ça ! Regarde mieux l'expression : c'est lim e(p) = 1 - 2 et pas 2 - 1 !!! Ce n'est pas la même chose...



  • Merci, j'y suis finalement arrivé 🙂


 

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