Calcul de la dérivée d'une fonction et tableau de variations



  • Bonjour,

    Voici mon exercice :

    Partie A - Etude préliminaire

    On donne la fonction f définie sur [0;1] par :

    f(x) = (x) / (1+x)

    1. Etudiez le sens de variation de f
      Dresses son tableau de variation.

    2. Démontrez que si 0 < x <1/10, alors
      0 < f(x) < 1/11

    Partie B- Achat d'essence

    1.a) Le prix d'un litre d'essence est p (p est exprimé en euros). Quel est le volume V1 du carburant acheté pour 100€ ?
    b) Le prix du litre d'essence a augmenté de 25% par rapport à p. Quel est le volume V2 du carburant acheté pour 100€ ?
    c) Calculez V2/V1 et vérifiez que le pourcentage de diminution de volume du carburant acheté est 20%.

    1. Plus généralement, démontrez que si le prix augmente de t%, alors le volume baisse de n% avec :

    n = (100t) / (100 + t)
    On pose x = t/100 et y = n/100. Expimez y en fonction de x.

    1. On suppose que l'augmentation du prix du litre de carburant est inférieure à 10%, c'est-à-dire que 0 < x < 0,1.

    A-t-on raison de dire que la diminution de volume de carburant acheté en résultant est inférieure à 10% ? Justifiez votre réponse.



  • Partie A :

    1. Il faut étudier la dérivée de f, puis la poser = 0.
      Est-ce bien cela ?

    2. Il faut à priori que j'utilise le théorème de la valeur intermédiaire, mais je ne vois pas quoi 😞



  • Pour 1, la dérivée n'est pas indispensable : avec
    f(x) = (x) / (1+x) = 1 - 1/(1+x)
    un TES peut voir de suite la croissance.

    Pour 2 : tu n'y es pas du tout ; utilise simplement la croissance de f.



  • Je suis arrivé au 1].
    Par contre, pour le 2, on voit d'après le tableau de variation que sur [0;1] f est croissante., donc 0 < x < 1/10

    Aussi, f(0) < f(x) < f(1/11), car on sait que f(0) = 0 f(1) = 0,5 et f(1/11) = 0.83

    mais je n'en suis vraiment pas sur du tout.

    Par contre, pour la 3 (partie B), je bloque aussi, le reste j'y suis arrivé



  • Salut.

    J'ai faillit dire parfait en lisant le début de ton raisonnement. Je le reprends en corrigeant les fautes:

    • 0 < x < 1/10
    • Or f est croissante sur [0;1], donc en particulier sur [0;1/10].
    • Alors f(0) < f(x) < f(1/10).

    Pourquoi as-tu écrit f(1/11) ?
    Maintenant remplace f(0) et f(1/10) par leurs valeurs dans l'inégalité en valeurs exactes(!), c'est-à-dire sous forme fractionnaire. Que remarques-tu ?

    @+



  • Salut.

    Pour B.3), en effectuant le même raisonnement (que l'on appelle raisonnement par encadrements), encadre y.

    "La diminution de volume est inférieure à 10%" doit signifier que 0 < y ≤ 10% j'imagine.

    @+



  • Je n'avais pas vu tes messages, mais j'y étais arrivé.
    merci qd meme 🙂


 

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