Déterminer les coefficients d'un polynome en appliquant le théorème d'égalité



  • re -bonjour a tous!j'ai un dm qui me pose beaucoup de problème j'ai besoin de votre aide.je dois déterminer les réels a,b et c tels que f(x)=a x +b +c/x+3
    comment faire?



  • Lol,
    il doit manqué des informations....
    De plus ton équation n'est pas tres clair, pourrais tu mettres des parenthese s'il te plait.

    f(x)=ax+b+cx+3f(x) = \frac{ax + b + c}{x+3}
    ou

    f(x)=ax+b+cx+3f(x) = ax + b + \frac{c}{x+3}

    ?



  • alors c'est la fonction 2 et f(x)=(x² + x-2)/(x+3)
    voila je ne peux rien dire de +



  • Tu mets l'expression avec a , b et c au même dénominateur ; tu développes et tu dis que ce que tu obtiens doit être égal à f(x) pour tout x de IR.

    Et on applique le théorème qui dit : Deux polynômes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont le même degré et si les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux.

    C'est à dire que les coéfficients des 2 expressions de x2x^2 sont égaux, idem pour les coefficients des x et les termes constants.

    Vous avez dû le faire au moins une fois en classe. non ?



  • alors en mettant sur le meme denominateur et en développant je trouve:(ax²+3ax+bx²+3bx+c)/(x+3)



  • C'est un bon début, à part le bx2bx^2 qui est faux et la multiplication de b par 3 qui manque !!!

    Corrige et mets x en facteur dans le termes en x ; puis redonne nous ce que tu trouves



  • pourqoui bx² et 3bx sont faux je ne comprends pa



  • Donne nous alors le dénominateur commun que tu as pris !



  • et bien j'ai tout mis sur x+3



  • et donc

    (ax+b)(x+3)+cx+3=ax2+3ax+bx+3b+cx+3=ax2+(3a+b)x+(3b+c)x+3\frac{(ax+b)(x+3) + c}{x+3}= \frac{ax^2+3ax+bx+3b+c }{x+3} =\frac{ax^2+(3a+b)x + (3b+c)}{x+3}
    donc
    f(x)=ax2+(3a+b)x+(3b+c)x+3f(x)=\frac{ax^2+(3a+b)x + (3b+c)}{x+3}



  • ah oui d'acord mais qu'est ce que je fais avec ça après je ne vois pas ou vous voulez en venir



  • Bien d'abord tu utilises le fait que si 2 fractions ayant le même dénominateur sont égales alors leur numérateurs sont égaux.

    Puis tu utilises les théorème qui dit : Deux polynômes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont le même degré et si les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux.

    Donc les coefficients de x^2 de f(x) et ceux du terme de droite sont égaux
    et les coefficients de x de f(x) et ceux du terme de droite sont égaux
    et les constantes sont égales

    Cela te fait 3 équations à 3 inconnues a b et c que tu vas trouver



  • je suis désolé mais je ne comprend rien



  • f(x)=x2+x2x+3=ax2+(3a+b)x+(3b+c)x+3f(x)= \frac{x^2 + x - 2}{x+3} =\frac{ax^2+(3a+b)x + (3b+c)}{x+3}

    donc pour tout réel x on doit avoir x2x^2 + x - 2 = ax2ax^2+(3a+b)x + (3b+c)

    donc le théorème cité + haut dit

    Le coefficient de x2x^2de f(x) et celui du terme de droite sont égaux
    Quel est le coeff de x2x^2 dans f(x) et dans le terme de droite ?

    Le coefficient de x de f(x) et celui du terme de droite sont égaux
    Quel est le coeff de x dans f(x) et dans le terme de droite ?

    Les constantes sont égales
    Quelles sont les constantes dans f(x) et dans le terme de droite ?



  • alor le coefficient de x c'est 1 mais pour le reste je ne vois pas du tout



  • on doit trouver a b et c pour que x2x^2 + x - 2 = ax2ax^2+(3a+b)x + (3b+c) pour tout réel x

    dans x2x^2 + x - 2

    Quel est le coefficeint de x2x^2 ?
    Quel est le coefficeint de x ?
    Quelle est la constante ou le coefficient de x0x^0 ?

    Dans ax2ax^2+(3a+b)x + (3b+c)

    Quel est le coefficeint de x2x^2 ?
    Quel est le coefficeint de x ?
    Quelle est la constante ou le coefficient de x0x^0 ?

    Réponds à cela et tu comprendras ce qu'il faut faire pour trouver 3 équations !



  • alors le coeff de x² c'est 1 le coeff de x c'est 1 aussi
    le coeff de x² c'est a et le coeff de x c'est 3a+b



  • Et ceux qui ne sont pas les coeff de x² ni x ? Qu'est-ce qui reste ?

    Donc si les coefficients de même degré sont égaux quelles égalités peux-tu écrire ?



  • ah oui ça yè je vois ou vous voulez en venir donc a=1 b=-2 et c=4



  • Ouf !!! 18 messages pour arriver à la solution !! et elle est juste !!

    J'espère au moins que tu as compris la méthode et que tu sauras la réutiliser sur un autre exo du même genre !



  • oui merci encore pour votre aide et votre patience



  • De rien mais essaye un peu d'appliquer les cours que tu as appris ! Refais bien tous les exercices faits en classse ! Et essaye de reconnaître une situation déjà vue en cours !


 

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