congruences



  • Voici l'exercice que je n'arrive pas à réaliser:je ne comprends rien

    Pour tout n appartenant à N* on note (n) le carninal des elements inversibles de (Z/nZ)
    1/ déterminer (p) pour p premier
    2/ déterminer (pq) pour p,q premiers, pq.
    3/ En utilisant le théorème chinois montrer que (mn)=(m)(n) pour m,n premiers entre eux
    4/ montrer que pour tout n appartenant à N* et pour tout a premier à n, on a a"puissance (n)"=1[n]² (s'inspirer de la démo du petit théorème de Fermat)
    5/ Soient e,d tels que ed=1[(n)]. Montrer que pour tout a premier à n on a a"puissance ed" =a[n]. MERCI



  • Remark : un entier m est inversible dans Z/nZ si et ssi m et n sont premiers entre eux.
    Demonstration :
    ==> si m est inversible dans Z/nZ, il existe un entier u telque mu soit congru a 1 modulo n, ceci signifie que mu - 1 est un multiple de n, soit nv. On a donc : mu - nv = 1 et d'apres Bezout, m et n sont premiers entre eux.
    <== si m et n sont premiers entre eux, d'apres Bezout, il existe deux entiers u et v tels que mu + nv = 1 et claireman mu est congru a 1 modulo n et donc m est inversible (son inverse etant u).

    1. Pour repondr a la kestion 1, utiliz cette remark et le fait que p est premier.
    2. Indication : si p et q sont premiers, on connait les diviseurs de pq, non ?
    3. Si m et n sont 1ers entre eux, d'apres le theorem des restes chinois, le produit cartesien Z/mZ x Z/nZ est en bijection avec Z/mnZ par l'application f : Z/mnZ -> Z/mZ x Z/nZ, qui a tout entier p de Z/mnZ lui associe le couple (a,b) ou a est la classe de p dans Z/mZ et b celle de p dans Z/nZ. On peut montrer (essaie de la faire...) que f induit une bijection des elements inversibles dans Z/mnZ vers les couples (a,b) telsque a est inversible dans Z/mZ et b inversible dans Z/nZ. Si t'arrives a montrer ca, c gagne puisk les ensembles Z/mnZ, Z/mZ x Z/nZ etant finis, ils auront les memes cardinaux qui sont respectivement (mn) et (m)(n). Si t'ariv pas manifestes toi (mais seuleman apres avoir cherche ... je veu dir bien cherche ...).
      Essai de faire ca d'abor ... g pas encor cherche les deux dernieres kestions ...


  • non sincerement je ne vois pas comment faire pour la 3ieme question, meme si tu me dit pas totalement tout peut tu m'expliquer comment je dois faire pour la bijection stp



  • J'espere ke ta resussi a faire les kestions 1 et 2.
    On sait que f est une bijection de Z/mnZ vers Z/mZ x Z/nZ (par le theorem chinois). On veut montrer que la restriction de f aux elements inversibles de Z/mnZ est aussi une bijection de ces elements vers l'ensemble des couples (a,b) de Z/mZ x Z/nZ telsque a est inversible dans Z/mZ et b inversible dans Z/nZ. Pour cela :

    • tu montre d'abor que si un entier p de Z/mnZ est inversible et si f(p) = (a,b) alors a est inversible dans Z/mZ et b inversible dans Z/nZ.
    • Puis tu montres que si (a,b) est un couple de Z/mZ x Z/nZ telque a inversible dans Z/mZ et b dans Z/nZ, alors il existe un entier p inversible dans Z/mnZ telque f(p) = (a,b).
      Indications : utiliz a fond le theoreme de Bezout.

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