Sujet concours suites (prepa HEC)



  • Bonjour, voila g un exercice de concours sur les suites et je bloque un peu.

    On me donne une suite définie par :

    $u {n+2} = sqrt {u_n} + sqrt {u{n+1}} \$

    $u_0 = a \$
    $u_1 = b \$

    \operatornameou`aetbsont2re´elssupe´rieursoue´gauxa`1\operatorname {o\grave u a et b sont 2 r\acute eels sup\acute erieurs ou \acute egaux \grave a 1}

    \operatornamemontrerquenn,unestbiende´finietve´rifie:un1\operatorname {montrer que \forall n\in \mathbb{n}, u_n est bien d\acute efini et v\acute erifie : u_n \ge1}

    Je suppose ici qu'il faut montrer par récurrence que UnU_n ≥ 1 est vrai donc je cherche a trouver UnU_n.

    Je sais qu'il s'agit ici d'une suite linéaire d'ordre 2 donc d'après mon cours je dois utiliser une equation caractéristique.

    Ce qui me donnerait: x² = √1 + √x => x² - √x - 1 =0
    Mais comment résoudre cela?

    Merci!!!


  • Modérateurs

    Salut.

    Euh... non, pas vraiment linéaire. Si ça avait été linéaire, cela aurait été du type
    Un+2U_{n+2}= μ.Un+1U_{n+1} + β.UnU_n

    Justement, l'intérêt de la récurrence, c'est que l'on a pas besoin de connaître UnU_n.

    Alors pose ta récurrence. Cherche à montrer la propriété P(n):"UnU_n≥1 et Un+1U_{n+1}≥1", n∈lN.

    @+



  • Ah oui effectivement les racines de m'avais pas dérangées. Mais je vais être tout le même obligé de trouver Un puisqu'après on me demande de montrer que la seul limite possible de (Un) est 4

    Faut-il que je montre Un+1 et Un ≥ 1 en meme temps ou d'abord Un+1 puis a l'aide de Un+1, je montre Un vraie. parce que je bloque deja a démontrer Un+1


  • Modérateurs

    Salut.

    Pour n=0, c'est pas trop dur.

    Pour un n donné, on suppose P(n) vraie, c'est-à-dire que l'on suppose que <strong>Un<strong>U_n≥1 et <strong>Un+1<strong>U_{n+1}≥1.

    Le but étant de montrer qu'alors P(n+1) est vraie, il faut montrer que <strong>Un+1<strong>U_{n+1}≥1 et <strong>Un+2<strong>U_{n+2}≥1.

    Un+1U_{n+1}≥1 est dans l'hypothèse de récurrence, donc ce n'est pas trop difficile, mais il reste à montrer l'autre inégalité.

    @+



  • Juste une derniere petite question. Est il possible de trouver (Un) avec les données que l'on a?

    On me demande en effet de montrer que la seule limite possible de Un est 4. J'ai donc penser a utiliser les ln pour pouvoir enlever les racines carrés et trouver une suite linéaire d'ordre 2 mais cela me parait compliquer étant donner que on ne connait pas les valeurs exactes de U0 et U1.

    svp aidez moi!!!!


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