Primitive (autre exercice)

(Re)Bonjour,

J'ai un autre petit exercice et afin d'être sûr des résultats, je vous demande conseil.
Le sujet (attention, c'est du bla bla au début....)

1] Définitions
Pour une entreprise qui fabrique des objets, le coût total CT dépend du nombre x d'objets fabriqués. On le note CT(x). On appelle coût marginal Cm(x) le coût de fabrication du (x+1)[e]-ième[/e] objet. On admet que C'T(x) = Cm(x).
Ainsi, le coût total Ct est une primitive du coût marginal Cm.
Interprétation de Ct(0) : pour x = 0, CT(0) est le montant des frais fixes.

2] Un exemple : fabrication de bouteilles d'eau minérale
Le coût marginal d'une bouteille d'eau minérale est constant et égal à 0,3 unités monétaires (UM). Les frais fixes s'élèvent à 10 000UM, c'est-à-dire CT(0) = 10 000.

Calculez le coût total de fabrication de la quantité q produite.
Calculez le coût unitair moyen en fonction de la quantité q produite.

Indication : Pour une fabrication de q objets, le coût moyen de fabrication est égal à CT(q) / q.

Salut.

Tu connais Cm(x): il est constant et vaut 0,3 UM.
Or, CT(x) est une primitive de Cm(x). Donc quelle est la forme de CT(x) ? (primitive d'une constante)
Si tu n'as rien oublié, il devrait te rester une inconnue à déterminer.
Comme CT(0)=10 000 UM, que vaut la constante ?

Donc CT(q)= (?) ?

Ben là il faut appliquer la définition, je ne vois pas quoi dire d'autre.

@+

Je pensais avoir compris, mais finalement je ne vois pas ce qu'il faut faire. Pouvez-vous m'indiquer quelques indices ?

Salut.

Si tu as trouvé quelque chose, donne toujours, c'est peut-être ça. Ce n'est pas parce que je t'ai embrouillé que tu n'avais pas compris.

Il faut utiliser la formule du cours qui te donne les primitives d'une constante: pour toi, quelles expressions ont les primitives de 0,3 ?

Dans ce cas, quelle est l'expression de CT ?

@+

En fait, je n'avais pas vu ton msg avant

10 000 x 0.3 ??
Il faut appliquer la formule donnée (la dernière) je pense, mais la question dit "unitaire", laors que la formule, non ....

Salut.

Dans le cas général, quelle est la forme des primitives de "a", une constante réelle ? (c'est du cours, donc ne cherche pas dans l'exercice)

@+

Les primitives de a sont ax +c

Salut.

Bien, donc comme Cm(x)=0,3 est une constante, on peut prendre a=0,3.
Et comme CT(x) est une primitive de Cm(x), elle est de la forme CT(x)=ax+c=0,3x+c.

Mais le problème c'est que l'on ne connaît pas c. Or on sait que en particulier CT(0)=10 000 ! Peux-tu en déduire c ?

@+

Ben c = 1000, vu que CT(0) = (0,3 x 0) + (10000)

Salut.

Et bah voilà.
Donc CT(q)=0,3q+10 000

Pour la 2), coût moyen et coût unitaire moyen c'est la même chose non ?

@+

Je pense que oui.
Ce serait donc

Ct(q) / q = 03q +10 000 / q
La je ne peux rien faire, je pense

Salut.

Oui, le coût moyen vaut: $C_{moyen}$ = CT(q)/q = 0,3+10000/q.

En fait, plus il y a d'objets, plus le coût moyen de fabrication d'une bouteille diminue d'après l'expression de celui-ci. Cela est dû aux frais fixes.

Imagine que dans une classe un élève à 20/20, et que tous les autres ont 10/20.
Alors la moyenne de la classe sera, en notant n le nombre d'élèves ayant 10, (20+10n)/(n+1)=(la somme de toutes les notes)/(le nombre total d'élèves). Tu pourras remarquer que la moyenne se rapproche de plus en plus de 10 quand n augmente.

Le 20 correspondrait aux frais fixes, le 10 au prix d'une bouteille (constant dans l'exercice), et n à q, le nombre de bouteilles produites.

@+

Ok. Ben merci beaucoup et aussi pour les explications