égalité concernant le cosinus hyperbolique



  • rebonjour !!
    toujours dans le même devoir maison je bloque sur une égalité
    je remets les hypothèses :
    f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
    dans cette partie:
    f(0)=1f(0)=1
    f(1)=bf(1)=b

    et a≥0 on a ch(a)=bch(a)=b
    j'ai montré que f(12n)+1=2f2(12n+1)f(\frac{1}{2^n}) +1=2f^2(\frac{1}{2^{n+1}})

    je dois en déduire que f(12n)=ch(a2n)f(\frac{1}{2^n})= ch(\frac{a}{2^n})
    ça ne doit pas être super compliqué mais je ne sais pas par quel bout le prendre
    merci



  • Bonjour,

    Je pense que tu dois utiliser la formule

    ch(x),+,1,=,2,ch2(x2)\text{ch}(x) , + , 1 ,=, 2,\text{ch}^2(\frac{x}{2})

    pour montrer que la fonction ch vérifie bien la formule que tu as démontrée pour f



  • Zorro
    Bonjour,

    Je pense que tu dois utiliser la formule

    ch(2x),+,1,=,2,ch2(x2)\text{ch}(2x) , + , 1 ,=, 2,\text{ch}^2(\frac{x}{2})

    pour montrer que la fonction ch vérifie bien la formule que tu as démontrée pour f
    coucou en effet ils me demandaient précédemment de prouver que ch vérifie bien f
    par contre je ne comprends pas dans cette formule tu as pris
    ch(2x),+,1,=,2,ch2(x2)\text{ch}(2x) , + , 1 ,=, 2,\text{ch}^2(\frac{x}{2})
    tu as pris y=x mais pourquoi tu trouves ch2(x2)\text{ch}^2(\frac{x}{2})et pas ch2(x)\text{ch}^2({x})
    merci



  • Pardon une faute de frappe ! j'ai corrigé



  • ok je me retrouve avec

    ch(12n)+1=2ch2(12n+1)ch(\frac{1}{2^n}) +1=2ch^2(\frac{1}{2^{n+1}})
    mais je ne voie pas comment faire entrer le aa et puis trouver la relation entre ffet chch
    (désolée)
    merci



  • pars de ch(x),+,1,=,2,ch2(x2)\text{ch}(x) , + , 1 ,=, 2,\text{ch}^2(\frac{x}{2})

    et pose x = a/2na/2^n

    donc x/2 = a/2n+1a/2^{n+1}

    C'est juste une question de remplacement de valeurs



  • la fonction chch vérifie la propriété

    f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

    donc pour x=y=x2x=y=\frac{x}{2}

    ch(x),+,1,=,2,ch2(x2)\text{ch}(x) , + , 1 ,=, 2,\text{ch}^2(\frac{x}{2})

    on pose x=a2nx = \frac{a}{2^n}
    donc
    ch(a2n),+,1,=,2,ch2(a2n+1)\text{ch}( \frac{a}{2^n}) , + , 1 ,=, 2,\text{ch}^2( \frac{a}{2^{n+1}})
    donc
    ch(a2n),=,,1,+2,ch2(a2n+1)\text{ch}( \frac{a}{2^n}) , =,-, 1 ,+ 2,\text{ch}^2( \frac{a}{2^{n+1}})
    or on a prouvé que
    f(12n)+1=2f2(12n+1)f(\frac{1}{2^n}) +1=2f^2(\frac{1}{2^{n+1}})

    donc f(12n)=1+2f2(12n+1)f(\frac{1}{2^n}) =-1+2f^2(\frac{1}{2^{n+1}})

    alors ch(a2n)\text{ch}( \frac{a}{2^n}) =f(12n)f(\frac{1}{2^n})

    je pense que c'est pas mal là ?!


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