égalité concernant le cosinus hyperbolique

[miumiu]

rebonjour !!
toujours dans le même devoir maison je bloque sur une égalité
je remets les hypothèses :
$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$
dans cette partie:
$f(0)=1$
$f(1)=b$

et a≥0 on a $ch(a)=b$
j'ai montré que $f(\frac{1}{2^n})+1=2f^2(\frac{1}{2^{n+1}})$

je dois en déduire que $f(\frac{1}{2^n})=ch(\frac{a}{2^n})$
ça ne doit pas être super compliqué mais je ne sais pas par quel bout le prendre
merci

[Zorro]

Bonjour,

Je pense que tu dois utiliser la formule

$\text{ch}(x),+,1,=,2,{\text{ch}}^2(\frac{x}{2})$

pour montrer que la fonction ch vérifie bien la formule que tu as démontrée pour f

[miumiu]

Zorro
Bonjour,

Je pense que tu dois utiliser la formule

$\text{ch}(2x),+,1,=,2,{\text{ch}}^2(\frac{x}{2})$

pour montrer que la fonction ch vérifie bien la formule que tu as démontrée pour f
coucou en effet ils me demandaient précédemment de prouver que ch vérifie bien f
par contre je ne comprends pas dans cette formule tu as pris
$\text{ch}(2x),+,1,=,2,{\text{ch}}^2(\frac{x}{2})$
tu as pris y=x mais pourquoi tu trouves ${\text{ch}}^2(\frac{x}{2})$et pas ${\text{ch}}^2(x)$
merci

[Zorro]

Pardon une faute de frappe ! j'ai corrigé

[miumiu]

ok je me retrouve avec

$ch(\frac{1}{2^n})+1=2c{h}^2(\frac{1}{2^{n+1}})$
mais je ne voie pas comment faire entrer le $a$ et puis trouver la relation entre $f$et $ch$
(désolée)
merci

[Zorro]

pars de $\text{ch}(x),+,1,=,2,{\text{ch}}^2(\frac{x}{2})$

et pose x = $a/2^n$

donc x/2 = $a/2^{n+1}$

C'est juste une question de remplacement de valeurs

[miumiu]

la fonction $ch$ vérifie la propriété

$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$

donc pour $x=y=\frac{x}{2}$

$\text{ch}(x),+,1,=,2,{\text{ch}}^2(\frac{x}{2})$

on pose $x=\frac{a}{2^n}$
donc
$\text{ch}(\frac{a}{2^n}),+,1,=,2,{\text{ch}}^2(\frac{a}{2^{n+1}})$
donc
$\text{ch}(\frac{a}{2^n}),=,-,1,+2,{\text{ch}}^2(\frac{a}{2^{n+1}})$
or on a prouvé que
$f(\frac{1}{2^n})+1=2f^2(\frac{1}{2^{n+1}})$

donc $f(\frac{1}{2^n})=-1+2f^2(\frac{1}{2^{n+1}})$

alors $\text{ch}(\frac{a}{2^n})$=$f(\frac{1}{2^n})$

je pense que c'est pas mal là ?!