exercice sur les intégrales et séries



  • Bonjour j'aurais besoin d'aide pour un exercice.
    La donnée de départ est 1 avec nπ≤X(n+1), n∈N et p∈N*, j'ai déjà montrer les résultats 2, 3 et 4 il faut que je démontre la 5, sachant en plus (si ça peut aider) que j'ai montrer que la série de 1 à +∞ de unu_n est une série alternée convergente.
    Si quelqu'un peut me donner un tuyau je lui serais très reconnaissant.
    merci d'avance pour vos réponses.

    http://www.hiboox.com/vignettes/4706/a8f3cc68.jpg



  • nπ(n+1)xn\pi \leq (n+1) x

    c'est vraiment ça ?



  • euh non désolé il y a eu un problème, c'est :
    nπ≤X≤(n+1)π
    c'est mieux comme ça, encore désolé.



  • ok ; donc

    nπx(n+1)πn\pi \leq x \leq (n+1)\pi

    comme je suppose qu'un théorème sur les séries alternées serait inapproprié, je te propose une disjonction. je m'appuie sur le fait que sin garde un signe constant sur les intervalles de la forme [npipi ; (n+1)pipi]

    si sin x est ≥ 0 sur [npipi ; (n+1)pipi], alors tu as clairement

    0nπxsinxxdxnπ(n+1)πsinxxdx0 \leq \int_{n\pi}^x \frac{\sin x}{x}\text{d}x \leq \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\sin x}{x}\text{d}x

    parce que l'intervalle d'intégration de cette seconde intégrale contient celui de la première.

    inversement, si sin x est ≤ 0 sur [npipi ; (n+1)pipi]

    alors pour la même raison que ci-dessus on a

    nπ(n+1)πsinxxdxnπxsinxxdx0\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\sin x}{x}\text{d}x \leq \int_{n\pi}^x \frac{\sin x}{x}\text{d}x \leq 0

    donc en en prenant les valeurs absolues, on a bien

    0nπxsinxxdxnπ(n+1)πsinxxdx0 \leq \left| \int_{n\pi}^x \frac{\sin x}{x}\text{d}x \right| \leq \left| \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\sin x}{x}\text{d}x \right|

    puisque les négatifs sont rangés dans l'ordre inverse des positifs.

    est-ce que ça te convient ?



  • Je comprend ton raisonnement, juste je sais pas si je saurais vraiment l'expliquer d'une manière claire.
    Mais je te remercie, ça me donne un bon fil de conduction.



  • salut

    je m'appuie essentiellement sur cette propriété :

    *si f est est une fonction positive sur J et si I⊂J, alors on a l'inégalité *

    if(x)dxjf(x)dx\int_i f(x)\text{d}x \leq \int_j f(x)\text{d}x



  • Oki, je devrais m'en sortir alors, c'est tout bête a expliquer.
    Merci beaucoup



  • et ne pas oublier ce qui dépend de f ici : la fonction (sin x)/x garde un signe constant sur les intervalles [kpipi ; (k+1)pipi] : soit c'est positif, soit c'est négatif.


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