Résoudre un QCM sur des fonctions logarithme népérien

Bonjour à tous !!

J'ai un QCM dans lequel il peut y avoir aucune, une ou plusieurs réponses. Il faut obligatoirement justifier pour toutes les réponses.

1] La représentation de la fonction logarithme népérien admet :
a) une asymptote verticale
b) une asymptote horizontale
c) une tangente de coefficient direct égal à 1

2] Une primitive de la fonction logarithme népérien sur ]0;+∞[ est :
a) x → (1)/(ln x)
b) x → xlnx - x +3
c) x → [ x( 1+x ) / ( -1-x ) ] + x ln x

3] Pour tout réel x strictement inférieur à 1, ln (1 - x) > 1 est équivalent à :
a) x < 1
b) x < 1 - e
c) x > e

4] Si f(x) = (ln x)², alors :
a) f'(x) = 2 ln x
b) (ln x²) / x
c) f'(x) = 2 (lnx / x)
d) -∞
e) 0
f) +∞

5] L'ensemble des solutions de l'inéquation x ln (0,3) - 1 ≤ 0 est :
a) ] -∞ ; (1 / ln (0.3))]
b) [ (1 / ln (0.3)) ; +∞ [
c) ] 0 ; (1 / ln (0.3)) [

6] Pour tout x > 0, on pose g(x) = f (ln x), où f est un fonction dérivable sur ℜ telle que lim (-∞ ) f= 0, f (0) = 1/2 et lim (+∞ ) f = 1, alors :
a) g(1) = 0,5
b) lim (x → 0) g(x ) = 0
c) lim ( +∞ ) g(x ) = 1

Merci à tous de votre aide

coucou !!
Et tu attends quoi de moi en fait ?? que je te donne les réponses... et justifiées ?? lol

pour l'histoire des assymptotes tu dois calculer les limites aux bornes de ensemble de dèfinition de $ln⁡\ln$ ... Pour la tangente je te conseille de regarder pour $x = 1$ ce que ça donne

ce serait bien si tu modifiais ton post ne mettant à côté ce que tu penses être juste ou faux....

J'en profite pour modifier un peu ton post au niveau de l'écriture

Animatrix
Bonjour à tous !!

J'ai un QCM dans lequel il peut y avoir aucune, une ou plusieurs réponses. Il faut obligatoirement justifier pour toutes les réponses.

1] La représentation de la fonction logarithme népérien admet :
a) une asymptote verticale
b) une asymptote horizontale
c) une tangente de coefficient direct égal à 1

2] Une primitive de la fonction logarithme népérien sur ]0;+∞[ est :

a) x → $1ln⁡x\frac{1}{\ln x}$

b) x → $xln⁡x−x+3x\ln x - x +3$

c) x → $x×(1+x)(−1−x)+xln⁡x\frac{x\times(1+x) }{ (-1-x) } + x \ln x$

3] Pour tout réel x strictement inférieur à 1, $ln⁡(1−x)\ln (1 - x)$ > 1 est équivalent à :

a) x < 1

b) x <1 - e

c) x >e

4] Si $f(x) = (\ln x)^2$ , alors :

a) $\ln x$

b) $ln⁡x2x\frac{\ln x^2}{ x}$

c) $\times\frac{\ln x}{x}$

d) $\infty$

e) 0

f) $\infty$

5] L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln (0,3) - 1 \le 0$ est :

a) $\infty ; \frac{1}{\ln (0.3)} ]$

b) $\frac{1}{\ln (0.3)}; {+} \infty [$

c) $\frac{1}{\ln (0.3)}[$

6] Pour tout x > 0, on pose $(\ln x),$

où f est un fonction dérivable sur $mathbb{R}$

telle que $lim⁡x→−∞f=0\lim _{x \rightarrow {-} \infty}f =0$

$\frac{1}{2}$

et $lim⁡x→+∞f=1\lim _{x \rightarrow {+} \infty}f =1$
, alors :

a) $g (1) = 0, 5$

b) $lim⁡x→0g(x)=0\lim _{x \rightarrow 0}g(x) = 0$
et pas f(x) comme j'avais mis au début

c) $lim⁡x→+∞g(x)=1\lim _{x \rightarrow {+} \infty}g(x) = 1$

Merci à tous de votre aide

Merci

Alors, vu que je dois justifier...

pour l'asymptote, c'est écrit dans le cours de mon livre, mais pas dans mon cours...... Donc je calcule qd meme la limite ?
Pour la tangente horizontale, je vais faire comme tu me dis

2)On sait qu'une primitive de ln est x ln x -x.
Donc la fonction b est bonne et la fonction a à l'ouest (dois je faire un calcul pour le prouver, du - ca me semble difficile)

La c est bonne car le x est négatif (dénominateur)

J'ai beau les calculer dans tous les sens j'ai toujours une erreur de signe
Comprends-tu els 3 dernières réponses, je en vois pas à quoi elles correspondent. Je me suis demandé si ce n'était pas le sens de variation.....

Pour la dérivée, en la calculant je trouve uniquement c.

et 6 je vais voir ...

Animatrix
Merci

Alors, vu que je dois justifier...

pour l'asymptote, c'est écrit dans le cours de mon livre, mais pas dans mon cours...... Donc je calcule qd meme la limite ?

oui tu calcules la limite en 0
tu peux utiliser la fonction exp

Pour la tangentehorizontale, je vais faire comme tu me dis

pour toi un coefficient de 1 ça fait une tangente horizontale??

2)On sait qu'une primitive de ln est x ln x -x.

Donc la fonction b est bonne et la fonction a à l'ouest(dois je faire un calcul pour le prouver, du - ca me semble difficile)

mdr nan si c'est faux tu ne justifies pas

La c est bonne car le x est négatif (dénominateur)

euh je ne te suis pas trop là tu as calculé ce que ça donne comme dérivée??

J'ai beau les calculer dans tous les sens j'ai toujours une erreur de signe

lol moi je trouve b tu dois appliquer l'exp à l'inégalité de départ...donne moi tes calculs pour que je regarde

Comprends-tu els 3 dernières réponses, je en vois pas à quoi elles correspondent. Je me suis demandé si ce n'était pas le sens de variation.....

Pour la dérivée, en la calculant je trouve uniquement c. ok j'avoue c'est bizarre pour les trois dernières il n'y a pas plus de renseigenments??

et 6 je vais voir ...

Pour justifier l'asymptote :
Nous savons que
lim ln x = - ∞
x → 0
x > 0
La droite d'équation x = 0 est asymptote verticale à Cf

lim ln x = +∞
x → +∞
Il n'y a aucune asymptote

Réponse a.

f(x) = ln x => f '(x) = 1/x => f '(1) = 1
Donc vrai pour le c

La dérivée de x(1 + x) / (-1 - x) ?
ln (1-x) > 1 ln (1-x) > ln e (1-x) > e
j'y suis arrivé, est-ce correct ?
Et non, rien d'autre n'est renseigné, je vais essayer de demander ce que les autres ont fait
Sinon, pour le calcul de dérivée, voici ce que je vais mettre :

f est dérivable sur R*+
f'(x) = 2 * ln x * 1/x = 2lnx / x

Est-ce suffisant ?

En fait il faut que je vois un problème me gène, à chaque fois que l'on a calculé l'ensemble de déf de ln, il n'y avait rien en facteur. Comment dois-je faire ?
je gallère sec....
pour la a, je pense qu'elel vrai, car :

si x = 1, alors f(lnx) = f (ln (1) ) = f(0).
Or on sait que f(0) = 1/2, soit 0,5

Pour les deux limites, je ne vois pas trop.

P.S. : désole pour l'écriture des limites

ok pour la
1 / par contre tu aurais pu déterminer l'équation de la tangente en entier mais bon ...

2/ba quand tu calcules la dérivée de $\ln x-x+3$ tu trouves $ln⁡x\ln x$ donc c'est fête lol donc si la c/ est bonne tu dois aussi trouver $ln⁡x\ln x$ comme dérivée... nan?!

3/ naaaaaaaan !! mdr

$ln⁡(1−x)\ln(1-x)$ >1
donc

$e^{\ln(1-x)}$ > $e^1$ car la fonction exp est strictement croissante

donc

1-x> e
donc ...
compris?? je regarde la suite

4/ pour la dérivée ok
je pense que ce sont surement des limites qu'ils demandent mais bon s'ils faut trouver les questions et les réponses ça devient dur lol

5/ je ne vois pas ce qui te gêne tu fais passer le -1 a droite tu regardes le signe de $ln⁡(0,3)\ln(0,3)$ et tu tu divises des deux côtés par cette expression ...

6/ Pour la a/ je suis d'accord pour les deux limites on réfléchi avec begbi
quoique nan en fait ce n'est pas si simple même pour la a/
ouè nan si la a/ doit être bonne
je vois bien pour les limites faire un truc par des contres exemples

Pour le 4), il y a aussi f'(x) = (ln x^2 ) / x, car n ln a = ln a^p

voila justement c'est le signe de ln (0.3) qui me gène.

Pour le 6), j'attend

4/ cool en effet :):)
5/ ba tu ne connais pas la représentation graphique de $ln⁡\ln$ ??t'inquiète ça va vite venir si ce n'est pas le cas mdr
c'est négatif
donc

6/
oui

Coucou ,
Moi la 6 je suis Ok pour les trois propositions...

la c/ est bonne faut faire un changement de variable tu prends X= $ln⁡x\ln x$
ok?!
je regarde pour la b/ ça va venir je te promets mdr

C'est-à-dire l'équation de la tangente en entier ?
Je la calcule, mais c'est pas simple.
Mais tu penses toujours qu'elle est fausse ?
Je n'ai pas vu les exponentielles, mais je sais juste que ln e = 1 et que e = ~ 2,718

aaaaaaaaaaaaa
mais j'avais marqué limite de f en 0 dans mon deuxième post avec latex

c'est pour ça
mdr
je vais le modifier
oui c'est bon aussi la b/ avec changement de variable

1/ un truc du genre

$f(x_0) = f '(x_0)\times (x - x_0)$

2/ ba le meilleur moyen c'est de le faire lol je pense qu'elle est fausse mais bon je vais le refaire

3/ $ln⁡e=1\ln e = 1$ car c'est en fait $ln e^1 = 1$
ils te donnent un exercice avec des logarithmes et vous n'avez pas vu l'exponnentielle???

Pour la tangente, je connais f'(a)(x-a) + f(a), c'est tout lol (je connais rien)
A priori, c'est pas bon, mais mon calcul de dérivé est un peu trop dingue pour qu'il puisse être kiste.
Non, on ne les vois qu'après.
Donc qu'est-ce que je fais, je ne peux pas mettre ce que tu m'as dit, car je l'ai pas vu....

La 2)c est bonne

tu a vu que $ln e ^1=1$ mais pas que $e^{\ln 1}= 1$
bon ok je regarde
pour la 1) j'ai écrit la même chose mdr
pour la 2) ba si elle est fausse elle est fausse lol je vais faire le calcul mais si begbi dit que c'est bon...

Pour la 3) je trouve c) est Ok
changement de variable X= lnx
Au fait miu e^(ln1) = 1 et pas 0

begbi
Pour la 3) je trouve c) est Ok
changement de variable X= lnx
Au fait miu e^(ln1) = 1 et pas 0
je vais modifier

C est bon pour toi animatrix dis moi ou tu en es...

Ok
Je l'indique juste, où je la complète avec les éléments
Donc c'est juste la B

Pour la 5), ce serait A, mais je vois pas d'où tu sors ton négatif....

Pour la 6), est-ce que 'javais mis pour le a) était bon ?

Pour les limites, serait-il possible d'avoir une petite aide (méthode) ?

Pour le 2)voila le calcul de dérivé:

$(x(1+x)(−1−x)+xlnx)′=(1+2x)(−1−x)+x(1+x)(1+x)2+lnx+1(\frac{x(1+x)}{(-1-x)}+xlnx)'=\frac{(1+2x)(-1-x)+x(1+x)}{(1+x)^{2}}+lnx+1$

$=−(1+2x)+x1+x+lnx+1=\frac{-(1+2x)+x}{1+x}+lnx+1$

$=−1−2x+x1+x+lnx+1=lnx=\frac{-1-2x+x}{1+x}+lnx+1=lnx$

J espere que je ne me suis pas tromper je vais devoir filer...

Merci beaucoup pour cette précision.
Tu as pas vite vu pour la 6) ?

pour la 6) tu dois faire un changement de variable tu poses
X=lnx et tu calcules les limites
ok??

Alors, vu que j'ai beaucoup de mal, je vais partir de ce que je sais :

Cours :
lim (x -> 0) lnx = - infini
lim (x -> +infini) lnx = + infini

Exercice :
lim (x -> - infini) f= 0
lim (x -> + infini) f= 1

Pour le b, il faut que je remplace f(ln x) par 0
Or ln 0 = 0
Donc vrai ??

Pour le c, je ne vois pas avec l'infini.

Est-ce qu'au moins le b, est bon ?
Je vois pas d'autres méthodes sinon

re
je n'ai pas très bien compris ta méthode lol
mais oui c'est vrai

$lim⁡x→0ln⁡x=−∞\lim _{x \rightarrow 0}\ln x= {-} \infty$

on pose $X=ln⁡xX=\ln x$

$lim⁡X→−∞f(X)=0\lim _{X \rightarrow {-} \infty}f(X) = 0$

donc $lim⁡x→0g(x)=0\lim _{x \rightarrow 0}g(x) =0$

même méthode pour la c/ ok??

donc

$lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\lim _{x \rightarrow {+} \infty} \ln x= {+} \infty$

on pose $X=ln⁡xX=\ln x$

$lim⁡X→+∞f(X)=1\lim _{X \rightarrow {+} \infty}f(X) = 1$

donc $lim⁡x→+∞g(x)=1\lim _{x \rightarrow {+} \infty}g(x) =1$

dis moi vraiment si tu ne comprends pas ce que je fabrique

Alors, j'arrive à comprendre la c,

mais pas la b), en fait le x tend vers - l'infini et le x vers 0, comment as-tu passé de l'un à l'autre (bien sûr en faisant un ln) mais là j'ai un peu de mal

tu ne sais pas faire un changement de variable en fait ... regarde dans ton cours normalement ça y ait
je ne suis pas prof mes capacités pour expliquer sont réduites lol
je vais essayer de te trouver un lien

bon c'est pas top mais c'est tout ce que j'ai trouvé en 5 min

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ind%C3%A9termination_de_la_forme_0/0#Changement_de_variable

C'est bon j'ai compris
Merci beaucoupppppp

ok de rien on repasse sur l'autre exo alors ??

La je suis entrain de le recopier, au cas où je hurle !

lol en général je suis toujours la dernière du forum avec le boss (je pars vers 1h lol) mais ce soir je suis trop crevée donc j'espère que tu ne vas pas hurler
+++

Pour le 2) à propos du a
vu que je dois TOUT justifier

si je calcule la dérivée :

f est dérivable sur Df
f'(x) = - (1/x) / (lnx)² = -1/x * (lnx)² = - (lnx)² / x ≠ ln x

Est-ce que c'est bon comme justification ?

Salut.

Presque, tu as fait remonter le ln²(x) brusquement.

$f(x)=1ln⁡(x)⇒f′(x)=−1xln2(x)f(x)=\frac{1}{\ln(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x)=\frac{-1}{xln^2(x)}$

Ensuite ça paraît clair que f'(x) est différente de ln(x), vu que quand x tend vers 1...

De toute manière tu te casses la tête pour rien à dériver. Il suffit de voir qu'il y a un problème de croissance et de décroissance. Le logarithme est positif sur [1;+∞[, alors que son inverse est décroissant sur cet intervalle par exemple. Conclusion...

@+

Le logarithme est positif sur ]0;+∞[, alors que son inverse est décroissant sur cet intervalle. Donc, ce n'est pas une primitive, c'est tout ?

Salut.

Popopop ! C'est sur ]1;+∞[ que le logarithme est positif (j'ai d'ailleurs oublié d'ouvrir le crochet gauche dans mon post au-dessus). C'est important de ne pas prendre 1 à cause de 1/ln(x).

Ben en fait je ne sais si tu as appris qu'une primitive d'une fonction continue sur un certain intervalle est
toujourscontinue. Dans ce cas on pourrait conclure en considérant la discontinuité de x→1/ln(x) en 1.

Sinon on peut écrire par exemple:

x→1/ln(x) est décroissante sur ]1;+∞[ (je ne sais pas si tu as besoin de le justifier ou non). Par conséquent, sa dérivée est forcément négative sur ]1;+∞[.
Or il se trouve que x→ln(x) est strictement positive sur ]1;+∞[.
Donc x→ln(x) n'est pas la dérivée de x→1/ln(x)
D'où x→1/ln(x) n'est pas une primitive de x→ln(x).

Mais il y a beaucoup de façon de présenter ce raisonnement.

@+