Donner la limite et la dérivée d'une fonction exponentielle

Bonjour, je bloque sur 3 questions, j'aimerais vraiment qu'on m'aide avant vendredi où je dois rendre mon devoir, svp :rolling_eyes:
je dois calculer la limite en + infini de cette fonction :
f(x) = (x. $e^x$ ) / $e^x$ + 1)
en ce qui concerne le dénominateur je pense que c'est + l'infini mais je bloque pour le numérateur

la 2ème question me dit :
montrer que f'(x) = $e^x$ . $g(x))/(e^x$ + 1)²
et g(x) = $e^x$ +x + 1
là je n'y arrive pas du tout, est-ce qu'il faut que je fasse u'v-v'u/v² ou que je parte de $e^x$ . $g(x))/(e^x$ + 1)² en remplaçant g(x) par ses valeurs et que je développe ?

dernière question il faut ensuite montrer que f(α ) = α + 1 . En déduire un encadrement de f(α ) à $10^{-2}$ près

merci d'avance

Je pense que le mieux est de factoriser par $e^x$ au dénominateur pour trouver la limite de ta première question.

f est de la forme u/v, donc tu dois appliquer la formule que tu cites et obtenir après quelques calculs l'expression qui t'est gentiment donnée par le concepteur du sujet.

Enfin, tu ne nous dis pas ce qu'est α : je suppose que c'est l'unique solution de l'équation g(x) = 0... Il faut remplacer, calculer... il y a déjà qq exercices de ce genre dans les archives de TS de la semaine dernière, il me semble...

coucou
je modifie un peu ton post pour plus de clarté

Maeva6
Bonjour, je bloque sur 3 questions, j'aimerais vraiment qu'on m'aide avant vendredi où je dois rendre mon devoir, svp :rolling_eyes:
je dois calculer la limite en + infini de cette fonction :

$\frac{x\times e^x}{e^x+ 1}$

en ce qui concerne le dénominateur je pense que c'est + l'infini mais je bloque pour le numérateur

la 2ème question me dit :

montrer que
$\frac{(g(x)\times e^x)}{(e^x+ 1)^2}$

et $g(x) = e^x +x + 1$

là je n'y arrive pas du tout, est-ce qu'il faut que je fasse $u′v−v′uv2\frac{u'v-v'u}{v^2}$ ou que je parte de $\frac{(g(x)\times e^x)}{(e^x+ 1)^2}$ en remplaçant $g (x)$ par ses valeurs et que je développe ?

dernière question il faut ensuite montrer que $f(α)=α+1f(\alpha ) = \alpha + 1$ . En déduire un encadrement de $f(α)f(\alpha )$ à $10^{-2}$ près

merci d'avance
sorry sorry j'avais mal lu pour les carrés

oui c'est vrai excusez moi pour le α je n'y avais même pas pensé que c'était le même que celui dans une question plus haut, mais c'est bien la solution de l'équation g(x) = 0 et j'avais trouvé -1.28 < α < -1.27 , merci de m'avoir éclairé là dessus, je l'ai fait à la calculatrice et j'obtiens pour x = -1.28 f(x) = -0.2179 et x = -1.27 f(x) = -0.2174 , vous pensez que c'est bon ? mais pour l'encadrement à $10^{-2}$ près comment je fais ? j'ai l'impression que ce n'est pas encore ça...

en ce qui concerne la question sur la dérivée, j'ai fait :
u = x. $e^x$
u' = $e^x$
v = $e^x$ + 1
v' = $e^x$
est-ce que c'est bon ?
ensuite je me retrouve avec le numérateur :
$e$ ^x $(e$ ^x $+ 1) - e$ ^x $x-e^x$ )
et après j'aimerais mettre un seul $e^x$ en facteur mais vu qu'il y a un - devant la deuxième partie ça changerait de signe et ça ne peut pas aller comme ça... pouvez-vous m'aider svp?

pour la limite est-ce qu'il faut que je fasse la limite de $e^x$ * x ou $e^x$ +1) * x. $e^x$ ?

merci beaucoup pour votre aide ! (et merci miumiu pour avoir modifié mon post)

Salut.

Non, la dérivée de u n'est pas $e^x$ . Pense que c'est la dérivée d'un produit.

Ensuite, même si l'expression va changer, il n'y a aucun problème à mettre $e^x$ en facteur:

$e$ ^x $(e$ ^x $+ 1) - e$ ^x $x-e^x$ ) = $e$ ^x $[(e$ ^x $1)-(x-e^x$ )]

En ce qui concerne la limite, Zauctore t'as conseillé très justement de mettre $e^x$ en facteur au dénominateur, ce qui te permettra de virer l'exponentielle du haut.

En gros: dénominateur = $e^x$ +1 = $e^x$ ( ... ), à toi de déterminer ce qu'il y a dans les parenthèses.

@+

ok, il faut que je fasse ça alors ?
(u.v)' = u'v+v'u , j'obtiens :
u = x
u' = 1
v = $e^x$
v' = $e^x$
mais Zauctore m'a dit qu'il fallait faire u/v ... alors est-ce qu'il faut que je fasse les deux ? vos conseils m'éclairent petit à petit mais je dois avouer que plus c'est évident et plus je me complique ...

pour la limite je fais $e^x$ (x) ?

Maeva6
ok, il faut que je fasse ça alors ?
(u.v)' = u'v+v'u , j'obtiens :
u = x
u' = 1
v = $e^x$
v' = $e^x$
mais Zauctore m'a dit qu'il fallait faire u/v ... alors est-ce qu'il faut que je fasse les deux ? vos conseils m'éclairent petit à petit mais au final ça devient de plus en plus confus dans ma tête ! elle est belle celle là je trouve lol
pour la limite je fais $e^x$ (x) ?

tu dois faire les deux en fait
pour appliquer le conseil de Z tu dois appliquer ce qu'a dit Jeet Chris
la dérivée de $ex×xe^x\times x$ c'est donc $ex+x×exe^x+x\times e^x$ donc en utilisant le conseil de Z maintenant la dérivée de $f (x)$ c'est...

(je dois avoir le sens comique qui se développe quand je fais des maths pour dire des trucs pareils lol)
enfin bref, alors après j'utilise $e^x$ + $xe^x$ comme le u de u/v c'est ça ?
j'ai fait :
u = $e^x$ + $xe^x$
u' = $e^x$ + $e^x$
v = $e^x$ + 1
v' = $e^x$

$e^x$ + $e$ ^x $e^x$ + 1) - $e$ ^x $(e$ ^x $xe^x$ )
= $e^x$ + $e$ ^x $e^x$ +1) - $e^x$ + $xe^x$ )]
$= e$ ^x $+ e$ ^x $e^x$ *x + 1]

mais là le $e^x$ *x me bloque un peu... c'est que je me suis trompée déjà plus haut ? je ne sais pas quoi faire après

Maeva6
(je dois avoir le sens comique qui se développe quand je fais des maths pour dire des trucs pareils lol)
enfin bref, alors après j'utilise $e^x$ + $xe^x$ comme le u de u/v c'est ça ?
j'ai fait :
u = $e^x$ + $xe^x$
u' = $e^x$ + $e^x$
v = $e^x$ + 1
v' = $e^x$

$e^x$ + $e$ ^x $e^x$ + 1) - $e$ ^x $(e$ ^x $xe^x$ )
= $e^x$ + $e$ ^x $e^x$ +1) - $e^x$ + $xe^x$ )]
$= e$ ^x $+ e$ ^x $e^x$ *x + 1]

mais là le $e^x$ *x me bloque un peu... c'est que je me suis trompée déjà plus haut ? je ne sais pas quoi faire après

tu t'emmèles les pinceaux à ce que je vois
on reprend calmement

$f(x)=x×exex+1f(x)=\frac{x\times e^x}{ e^x+1}$ et ce pour tout $x$ de R
pour calculer la dérivée

on utilise la formule

la dérivée de $uv\frac{u}{v}$ c'est $u′v−uv′v2\frac{u'v-uv'}{v^2}$

dans notre exemple
$u=x×exu=x\times e^x$

$v= e^x+1$

alors $u′=ex+x×exu'=e^x+ x\times e^x$

$v'= e^x$

donc $f^{'} (x) = . . .$
ok?! c'est plus clair??

ok merci, oui c'est plus clair maintenant, j'ai fait :
$(e$ ^x $+ x < e m > e$ ^x $) < / e m > (e$ ^x $+ 1) - e$ ^x $xe^x$ )
c'est ça ?
j'ai mis $e^x$ en facteur :
$e$ ^x $e^x$ +x+1)-......
mais je ne sais pas quoi faire avec $- e$ ^x $xe^x$ )

Maeva6
ok merci, oui c'est plus clair maintenant, j'ai fait :

$(ex+x×ex)×(ex+1)−ex×(x×ex)(e^x+x\times e^x)\times(e^x+1)-e^x\times(x\times e^x)$

tu développes

$e2x+ex+x×e2x+x×ex−x×e2xe^{2x}+e^x+x\times e^{2x}+ x\times e^x - x\times e^{2x}$

et tu simplifies
ensuite tu regardes pour faire apparaitre
$ex×(ex+x+1)e^x\times(e^x+x+1)$

d'accord, alors est-ce que ça va si je fais :
$e$ ^x $(e$ ^x $1+xe^x$ $+ x < / e m > e$ ^x $xe^x$ )
et que je supprime $+ x < / e m > e$ ^x $x*e^x$ ?

Maeva6
d'accord, alors est-ce que ça va si je fais :

tu t'es trompée dans ta mise en facteur
$e$ ^x $(e$ ^x $1+xe^x$ $strong>x-xe^x$ )

et que je supprime $xe^x$ et $xe^x$

oui c'est bon mais tu aurais pu les supprimer avant mais bon oui ça va

ok merci infiniment !!
j'ai juste une dernière question pour la limite en + infini de :
$(x * e$ ^x $e^x$ +1)
comme Jeet-chris m'a dit de mettre $e^x$ (...) j'ai fait $e^x$ (x) et donc c'est égal à + l'infini, c'est juste ?

oui en +∞ on a bien +∞ comme limite en factorisant par $e^x$ au numérateur et au dénominateur

ok merci beaucoup !

de rien
tu as réussi a tout faire c'est bon??!!

pour cet exercice c'est bon
mais là je suis en train d'écrire un nouveau topic parce que je suis bloquée à l'exercice d'après ...

ok

montrer que f(α ) = α + 1 qui peux m'expliquer je n'y arrive pas. svp :frowning2:

coucou !!!
bienvenue :):)
pour prouver que $f(α)=α+1f(\alpha)= \alpha + 1$

tu peux claculer

$f(α)−(α+1)f(\alpha)-(\alpha + 1)$ et regarder le résultat
tu mets au même dénominateur ...

noublie pas que $g(α)=eα+α+1=0g(\alpha)=e^\alpha + \alpha+1 = 0$

merci de ton acceuil !

euh mais ca veut dire que je dois faire tout bêtement:

f(α ) - (α+1) = α+1 - (α+1) =0 ?????

nan nan lol
dans l'expression de $f (x)$ tu remplaces le $x$ par $α\alpha$

$f(α)=α×eαeα+1f(\alpha) = \frac{\alpha \times e^\alpha}{e^\alpha +1}$
ensuite tu mets
fais
$α×eαeα+1−α−1\frac{\alpha \times e^\alpha}{e^\alpha +1}- \alpha -1$

tu trouves 0 donc

$f(α)=α+1f(\alpha ) = \alpha + 1$
ok?!

oui j'avais déjà fais ca mais je trouve jamais 0
je viens de refaire le calcul je trouve:

(-α/(e^α+1))-1

:frowning2: ça fait un moment que je suis dessus :mad:

donc on a
$f(α)−α−1f(\alpha)-\alpha - 1$
⇔

$α×eαeα+1−α×(eα+1)eα+1−(eα+1)eα+1\frac{\alpha \times e^\alpha}{e^\alpha +1}- \frac{\alpha\times (e^\alpha +1)}{e^\alpha +1} - \frac{(e^\alpha +1)}{e^\alpha +1}$

⇔
$−α−eα−1eα+1\frac{-\alpha-e^\alpha-1}{e^\alpha +1}$

or
$g(α)=α+eα+1=0g(\alpha) = \alpha+e^\alpha+1= 0$
donc
...

trop fort grnd merci !!!!! j'aurais une autre petite question toute simple si ca te derrange pas

regarde j'ai répondu

pour ce que tu as dit comme α+(e^α )^+1=0 donc -α-(e^α )-1=0 donc:

0/e^α=0 c'est bien ca? mais quand il demande de calculer f(α ) a 10^-2 il demande de calculer quoi?

et mon autre question toute simple comment demontrer que g(x) a qu'une seule et unique solution?

oui c'est bon
et bien nous n'avons pas le début de l'exercice Maeva nous a dit qu'elle avait trouvé un encadrement pour $α\alpha$ donc pareil il suffit de rajouter 1 aux deux valeurs qui encadrent $α\alpha$ et c'est bon
pour prouver qu'il n'y a qu'une solution il faut utiliser le théorème de la bijection ...
ok?!

je veux bien que tu me montres comment tu fais le theroeme de bijection si tu veux bien

oui je veux bien te montrer mdr
alors déjà j'espère que tu as déjà vu ce terme au moins une fois dans ta vie hein?! peut être que tu connais le théorème de valeurs intermédiaires sinon ... c'est la même chose (le théorème de la bijection est un cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires)
$g(x)=e^x+x+1$ et ce pour tout $x$ de R
$g$ est la somme de fonctions dérivables sur R donc g est dérivable sur R
$g'(x)=e^x+1$
$g^{'} (x)$ toujours positif
donc g est strictment croissante sur R
la limite de $g$ en -∞ c'est -∞ et en +∞ c'est +∞
$g$ est continue et strictement croissante sur R
elle admet une bijection de R sur R qui contient 0 donc l'équation
$g (x) = 0$ admet une solution unique notée $α\alpha$

ensuite tu regardes (en gros) sur le graph de ta claculette pour quelle valeur tu as $g (x) = 0$ et tu utilises la fonction TABLE pour avoir l'encadrement

bon alors j'ai donné toute la rédaction parce que je ne sais pas si tu l'as déjà vu ou non
si c'est le cas et bien tant mieux pour toi lol mais j'ai fait exprès d'aller vite sur les limites pour que tu cherches un peu quand même

si tu n'as pas du tout vu cette rédaction dis le moi et dis moi aussi si tu connais le théorème des valeurs intermédaires

oui j'ai déja vu tout ca, mais j'ai de grosse lacune des que l'on parle de bijection injection surection :frowning2: je comprend jamais mais la c'est clair, théoreme des valeurs intermediaires ca me dit rien, je regarde sur wikipedia se qu'il dit,
en tout cas merci pour toute cette redaction c'est super !!!!

de rien

re bonjour, j'ai juste une dernière question à propos de la limite, comment écrire au propre tout ça ? j'écris que (x. $e$ ^x $e^x$ +1 = $e^x$ (x) et que au final lim de $e^x$ = + ∞ et lim de x = +∞
c'est suffisant ?

$(x.ex)ex+1=x×ex\frac{(x.e^x)}{e^x+1} = x\times e^x$

lol
nop

$lim⁡x→+∞f(x)\lim _{x \rightarrow {+} \infty}f(x)$

⇔
$lim⁡x→+∞(x.ex)ex+1\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\frac{(x.e^x)}{e^x+1}$
⇔

$lim⁡x→+∞x1+1ex\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\frac{x}{1+\frac{1}{e^x}}$

j'ai divisé le numérateur et le dénominateur par $e^x$

or $lim⁡x→+∞x=+∞\lim _{x \rightarrow {+} \infty} x = {+} \infty$
et
$lim⁡x→+∞1ex=0\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\frac{1}{e^x}= 0$

donc $lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim _{x \rightarrow {+} \infty}f(x) = {+} \infty$

oula c'est vrai maintenant que je le vois je comprends mieux... hé oui c'est vrai puisqu'on doit mettre $e^x$ en facteur il faut modifier en conséquence... mais c'est bon cette fois j'ai compris pour du bon ! merci pour votre aide !

de rien reviens quand tu veux

je n'arrive toujours pas a trouver un résultat???

il faut ensuite montrer que f(α ) = α + 1 . En déduire un encadrement de f(α ) à 10-2 près

je ne vois pas l'opération a faire?

attends mais je croyais t'avoir répondu nan tu ne comprends pas quoi??

oui la c la derniere question pour f(x) . Tu m'as aidé a montré que f(a)=a+1 mais comment faire pour trouver une valeur a 10-2 pres ???
tout a l'heure tu m'as montre g(a) a 10-2 pres