limite et dérivée fonction expo



  • Bonjour, je bloque sur 3 questions, j'aimerais vraiment qu'on m'aide avant vendredi où je dois rendre mon devoir, svp :rolling_eyes:
    je dois calculer la limite en + infini de cette fonction :
    f(x) = (x.exe^x ) / (ex(e^x + 1)
    en ce qui concerne le dénominateur je pense que c'est + l'infini mais je bloque pour le numérateur

    la 2ème question me dit :
    montrer que f'(x) = (ex(e^x.g(x))/(exg(x))/(e^x + 1)²
    et g(x) = exe^x +x + 1
    là je n'y arrive pas du tout, est-ce qu'il faut que je fasse u'v-v'u/v² ou que je parte de (ex(e^x.g(x))/(exg(x))/(e^x + 1)² en remplaçant g(x) par ses valeurs et que je développe ?

    dernière question il faut ensuite montrer que f(α ) = α + 1 . En déduire un encadrement de f(α ) à 10210^{-2} près

    merci d'avance



  • Je pense que le mieux est de factoriser par exe^x au dénominateur pour trouver la limite de ta première question.

    f est de la forme u/v, donc tu dois appliquer la formule que tu cites et obtenir après quelques calculs l'expression qui t'est gentiment donnée par le concepteur du sujet.

    Enfin, tu ne nous dis pas ce qu'est α : je suppose que c'est l'unique solution de l'équation g(x) = 0... Il faut remplacer, calculer... il y a déjà qq exercices de ce genre dans les archives de TS de la semaine dernière, il me semble...



  • coucou
    je modifie un peu ton post pour plus de clarté

    Maeva6
    Bonjour, je bloque sur 3 questions, j'aimerais vraiment qu'on m'aide avant vendredi où je dois rendre mon devoir, svp :rolling_eyes:
    je dois calculer la limite en + infini de cette fonction :

    f(x)=x×exex+1f(x) = \frac{x\times e^x}{e^x+ 1}

    en ce qui concerne le dénominateur je pense que c'est + l'infini mais je bloque pour le numérateur

    la 2ème question me dit :

    montrer que
    f(x)=(g(x)×ex)(ex+1)2f'(x) = \frac{(g(x)\times e^x)}{(e^x+ 1)^2}

    et g(x)=ex+x+1g(x) = e^x +x + 1

    là je n'y arrive pas du tout, est-ce qu'il faut que je fasse uvvuv2\frac{u'v-v'u}{v^2} ou que je parte de f(x)=(g(x)×ex)(ex+1)2f'(x) = \frac{(g(x)\times e^x)}{(e^x+ 1)^2} en remplaçant g(x)g(x) par ses valeurs et que je développe ?

    dernière question il faut ensuite montrer que f(α)=α+1f(\alpha ) = \alpha + 1. En déduire un encadrement def(α)f(\alpha ) à 10210^{-2} près

    merci d'avance
    sorry sorry j'avais mal lu pour les carrés 😉



  • oui c'est vrai excusez moi pour le α je n'y avais même pas pensé que c'était le même que celui dans une question plus haut, mais c'est bien la solution de l'équation g(x) = 0 et j'avais trouvé -1.28 < α < -1.27 , merci de m'avoir éclairé là dessus, je l'ai fait à la calculatrice et j'obtiens pour x = -1.28 f(x) = -0.2179 et x = -1.27 f(x) = -0.2174 , vous pensez que c'est bon ? mais pour l'encadrement à 10210^{-2} près comment je fais ? j'ai l'impression que ce n'est pas encore ça...

    en ce qui concerne la question sur la dérivée, j'ai fait :
    u = x.exe^x
    u' = exe^x
    v = exe^x + 1
    v' = exe^x
    est-ce que c'est bon ?
    ensuite je me retrouve avec le numérateur :
    ee^x(e(e^x+1)e+1)-e^x(xex(x-e^x)
    et après j'aimerais mettre un seul exe^x en facteur mais vu qu'il y a un - devant la deuxième partie ça changerait de signe et ça ne peut pas aller comme ça... pouvez-vous m'aider svp?

    pour la limite est-ce qu'il faut que je fasse la limite de exe^x * x ou (ex(e^x +1) * x.exe^x ?

    merci beaucoup pour votre aide ! (et merci miumiu pour avoir modifié mon post)


  • Modérateurs

    Salut.

    Non, la dérivée de u n'est pas exe^x. Pense que c'est la dérivée d'un produit.

    Ensuite, même si l'expression va changer, il n'y a aucun problème à mettre exe^x en facteur:

    ee^x(e(e^x+1)e+1)-e^x(xex(x-e^x) = ee^x[(e[(e^x+1)(xex+1)-(x-e^x)]

    En ce qui concerne la limite, Zauctore t'as conseillé très justement de mettre exe^x en facteur au dénominateur, ce qui te permettra de virer l'exponentielle du haut.

    En gros: dénominateur = exe^x+1 = exe^x( ... ), à toi de déterminer ce qu'il y a dans les parenthèses.

    @+



  • ok, il faut que je fasse ça alors ?
    (u.v)' = u'v+v'u , j'obtiens :
    u = x
    u' = 1
    v = exe^x
    v' = exe^x
    mais Zauctore m'a dit qu'il fallait faire u/v ... alors est-ce qu'il faut que je fasse les deux ? vos conseils m'éclairent petit à petit mais je dois avouer que plus c'est évident et plus je me complique ...

    pour la limite je fais exe^x(x) ?



  • Maeva6
    ok, il faut que je fasse ça alors ?
    (u.v)' = u'v+v'u , j'obtiens :
    u = x
    u' = 1
    v = exe^x
    v' = exe^x
    mais Zauctore m'a dit qu'il fallait faire u/v ... alors est-ce qu'il faut que je fasse les deux ? vos conseils m'éclairent petit à petit mais au final ça devient de plus en plus confus dans ma tête ! elle est belle celle là je trouve lol
    pour la limite je fais exe^x(x) ?

    tu dois faire les deux en fait
    pour appliquer le conseil de Z tu dois appliquer ce qu'a dit Jeet Chris
    la dérivée de ex×xe^x\times x c'est donc ex+x×exe^x+x\times e^x donc en utilisant le conseil de Z maintenant la dérivée def(x)f(x)c'est...



  • 😁 (je dois avoir le sens comique qui se développe quand je fais des maths pour dire des trucs pareils lol)
    enfin bref, alors après j'utilise exe^x + x<em>exx<em>e^x comme le u de u/v c'est ça ?
    j'ai fait :
    u = exe^x + x</em>exx</em>e^x
    u' = exe^x + exe^x
    v = exe^x + 1
    v' = exe^x

    exe^x + ee^x(ex(e^x + 1) - ee^x(e(e^x+x<em>ex+x<em>e^x)
    = exe^x + ee^x[(ex[(e^x+1) - (ex(e^x + x</em>exx</em>e^x)]
    =e=e^x+e+e^x[ex[e^x*x + 1]

    mais là le exe^x*x me bloque un peu... c'est que je me suis trompée déjà plus haut ? je ne sais pas quoi faire après



  • Maeva6
    😁 (je dois avoir le sens comique qui se développe quand je fais des maths pour dire des trucs pareils lol)
    enfin bref, alors après j'utilise exe^x + x<em>exx<em>e^x comme le u de u/v c'est ça ?
    j'ai fait :
    u = exe^x + x</em>exx</em>e^x
    u' = exe^x + exe^x
    v = exe^x + 1
    v' = exe^x

    exe^x + ee^x(ex(e^x + 1) - ee^x(e(e^x+x<em>ex+x<em>e^x)
    = exe^x + ee^x[(ex[(e^x+1) - (ex(e^x + x</em>exx</em>e^x)]
    =e=e^x+e+e^x[ex[e^x*x + 1]

    mais là le exe^x*x me bloque un peu... c'est que je me suis trompée déjà plus haut ? je ne sais pas quoi faire après

    tu t'emmèles les pinceaux à ce que je vois
    on reprend calmement

    f(x)=x×exex+1f(x)=\frac{x\times e^x}{ e^x+1} et ce pour tout xx de R
    pour calculer la dérivée

    on utilise la formule

    la dérivée de uv\frac{u}{v} c'est uvuvv2\frac{u'v-uv'}{v^2}

    dans notre exemple
    u=x×exu=x\times e^x

    v=ex+1v= e^x+1

    alors u=ex+x×exu'=e^x+ x\times e^x

    v=exv'= e^x

    doncf(x)=...f'(x) =...
    ok?! c'est plus clair??



  • ok merci, oui c'est plus clair maintenant, j'ai fait :
    (e(e^x+x<em>e+x<em>e^x)</em>(e)</em>(e^x+1)e+1)-e^x(x<em>ex(x<em>e^x)
    c'est ça ?
    j'ai mis exe^x en facteur :
    ee^x[(ex[(e^x+x+1)-......
    mais je ne sais pas quoi faire avec e-e^x(x</em>ex(x</em>e^x)



  • Maeva6
    ok merci, oui c'est plus clair maintenant, j'ai fait :

    (ex+x×ex)×(ex+1)ex×(x×ex)(e^x+x\times e^x)\times(e^x+1)-e^x\times(x\times e^x)

    tu développes

    e2x+ex+x×e2x+x×exx×e2xe^{2x}+e^x+x\times e^{2x}+ x\times e^x - x\times e^{2x}

    et tu simplifies
    ensuite tu regardes pour faire apparaitre

    ex×(ex+x+1)e^x\times(e^x+x+1)



  • d'accord, alors est-ce que ça va si je fais :
    ee^x(e(e^x+1+x<em>ex+1+x<em>e^x +x</em>e+x</em>e^xx<em>ex-x<em>e^x)
    et que je supprime +x</em>e+x</em>e^xxex-x*e^x ?



  • Maeva6
    d'accord, alors est-ce que ça va si je fais :

    tu t'es trompée dans ta mise en facteur
    ee^x(e(e^x+1+x<em>ex+1+x<em>e^x +<strong>x</strong>x</em>ex+<strong>x</strong>-x</em>e^x)

    et que je supprime x<em>exx<em>e^xet x</em>ex-x</em>e^x

    oui c'est bon mais tu aurais pu les supprimer avant mais bon oui ça va



  • ok merci infiniment !!
    j'ai juste une dernière question pour la limite en + infini de :
    (xe(x*e^x)/(ex)/(e^x+1)
    comme Jeet-chris m'a dit de mettre exe^x(...) j'ai fait exe^x(x) et donc c'est égal à + l'infini, c'est juste ?



  • oui en +∞ on a bien +∞ comme limite en factorisant par exe^x au numérateur et au dénominateur



  • ok merci beaucoup ! 😄



  • de rien 🙂
    tu as réussi a tout faire c'est bon??!!



  • pour cet exercice c'est bon 😄
    mais là je suis en train d'écrire un nouveau topic parce que je suis bloquée à l'exercice d'après ...



  • ok 😉



  • montrer que f(α ) = α + 1 qui peux m'expliquer je n'y arrive pas. svp 😕 :frowning2:



  • coucou !!!
    bienvenue :):)
    pour prouver que f(α)=α+1f(\alpha)= \alpha + 1

    tu peux claculer

    f(α)(α+1)f(\alpha)-(\alpha + 1)et regarder le résultat 😉
    tu mets au même dénominateur ...

    noublie pas que g(α)=eα+α+1=0g(\alpha)=e^\alpha + \alpha+1 = 0
    🙂



  • merci de ton acceuil !

    euh mais ca veut dire que je dois faire tout bêtement:

    f(α ) - (α+1) = α+1 - (α+1) =0 ????? 😕



  • nan nan lol
    dans l'expression def(x)f(x) tu remplaces lexx par α\alpha

    f(α)=α×eαeα+1f(\alpha) = \frac{\alpha \times e^\alpha}{e^\alpha +1}
    ensuite tu mets
    fais
    α×eαeα+1α1\frac{\alpha \times e^\alpha}{e^\alpha +1}- \alpha -1

    tu trouves 0 donc

    f(α)=α+1f(\alpha ) = \alpha + 1
    ok?!
    🙂



  • oui j'avais déjà fais ca mais je trouve jamais 0
    je viens de refaire le calcul je trouve:

    (-α/(e^α+1))-1

    :frowning2: ça fait un moment que je suis dessus :mad:



  • donc on a
    f(α)α1f(\alpha)-\alpha - 1

    α×eαeα+1α×(eα+1)eα+1(eα+1)eα+1\frac{\alpha \times e^\alpha}{e^\alpha +1}- \frac{\alpha\times (e^\alpha +1)}{e^\alpha +1} - \frac{(e^\alpha +1)}{e^\alpha +1}


    αeα1eα+1\frac{-\alpha-e^\alpha-1}{e^\alpha +1}

    or
    g(α)=α+eα+1=0g(\alpha) = \alpha+e^\alpha+1= 0
    donc
    ...
    😉



  • 😉 trop fort grnd merci !!!!! j'aurais une autre petite question toute simple si ca te derrange pas



  • regarde j'ai répondu 😉



  • pour ce que tu as dit comme α+(e^α )^+1=0 donc -α-(e^α )-1=0 donc:

    0/e^α=0 c'est bien ca? mais quand il demande de calculer f(α ) a 10^-2 il demande de calculer quoi?

    et mon autre question toute simple comment demontrer que g(x) a qu'une seule et unique solution?



  • oui c'est bon
    et bien nous n'avons pas le début de l'exercice Maeva nous a dit qu'elle avait trouvé un encadrement pour α\alpha donc pareil il suffit de rajouter 1 aux deux valeurs qui encadrent α\alpha et c'est bon
    pour prouver qu'il n'y a qu'une solution il faut utiliser le théorème de la bijection ...
    ok?!



  • je veux bien que tu me montres comment tu fais le theroeme de bijection si tu veux bien 😄


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