Démontrer qu'une suite est géométrique et préciser son premier terme et sa raison

Re bonjour
voilà en fait dans la suite de mon devoir j'ai un exercice sur les suites à faire, je l'ai commencé mais je bloque...
je résume le début : le sujet porte sur l'analyse des résultats d'une entreprise de presse, chaque année, le taux de réabonnement est de 80 % et pour la meme date on obtiens 10 000 nouveaux autres abonné
soit $u_n$ le nombre d'abonnés en milliers au 1er janvier de l'année de rang n $u_0$ en 2000, $u_1$ en 2001...)

j'ai trouvé :
année 2000
n = 0
$u_0 = 60$

pour 2001
$u_1 = 58$

pour 2002
$u_2 = 56.4$

pour 2003
$u_3 = 55.12$

et ensuite on me dit :
on considère la suite $v_n$ définie pour tout entier naturel n par :
$v_n = u_n - 50$

montrer que $v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison
puis en déduire l'expression de $v_n)$ puis de $u_n)$ en fonction de n

je bloque parce que je sais qu'une suite géométrique est de la forme $q×unq\times u_n$ et donc ça ne ressemble pas trop à ce que j'ai ... et parce qu'ensuite il faut en déduire l'expression et que je me demande quoi écrire, mais peut etre que ça sera plus clair quand j'aurai réussi la 1ère question....

merci d'avance

miumiu passage au LaTex et modification de l'écriture de $u_n$

coucou !!
je suppose que c'est $u_n$ et non $u^n$
tu peux écrire $u_1$ ; $u_2$ ... ce sera plus clair je pense
pour montrer qu'un suite est géométrique il faut calculer

$vn+1vn\frac{v_{n+1}}{v_n}$

si $v_n)$ est géométrique alors on trouve un résultat qui ne dépend pas de $n$ (on trouve la raison $q$ )

pour trouver l'expression de $v_{n+1})$
il va falloir que tu exprimes $u_{n+1})$

on a

$un+1=80un100+10u_{n+1} = \frac{80u_n}{100}+10$
ok?!

donc
$vn+1vn=un+1−50un−50=80un100−40un−50\frac{v_{n+1}}{v_n}= \frac{ u_{n+1}-50}{u_n-50} = \frac{\frac{80u_n}{100}-40}{u_n - 50}$

ok?! il faut simplifier maintenant

ok oui j'ai compris, j'ai simplifié 80/100 en 4/5 et après est-ce que je mets tout sous le même dénominateur (5) ? comment faire avec les 2 $u_n$ en haut et en bas? je peux les enlever ?

Tu sais que $v_n = u_n -50$
donc écris que $v_{n+1}=u_{n+1}-50$
Ensuite tu connais l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ .
Tu réduis et tu factorises par le coefficient situé juste devant ton $u_n$ dans l'expression de $v_{n+1}$
Tu verras alors apparaître comme par magie $v_n$

Tu as donc montré que ta suite $v_n$ est géométrique.

Enfin, si on pose $w_{n+1}=q w_n$ alors $w_n=q^n w_0$

PS: Je ferais juste une remarque à Cosmos tu ne peux faire $vn+1vn\frac {v_{n+1}} {v_n}$ si tu es sûr qu'aucun terme de ta suite $v_n$ ne s'annule

Maeva6
ok oui j'ai compris, j'ai simplifié 80/100 en 4/5 et après est-ce que je mets tout sous le même dénominateur (5) ? comment faire avec les 2 $u_n$ en haut et en bas? je peux les enlever ?

Tu n'as pas le droit d'écrire $vn+1vn\frac {v_{n+1}}{v_n}$ si tu ne montres pas au préalable que ta suite $v_n$ est non nulle pour tout indice $n$ !!!!

Combien de fois devrais-je te le répéter.

Il suffit juste d'écrire $vn+1=80100vnv_{n+1}=\frac {80}{100} v_n$
Par définition, $v_n$ est une suite géométrique.

Pour ma part, si un élève m'écrit
$vn+1vn=80100\frac {v_{n+1}}{v_n} =\frac {80}{100}$
et qu'il n'a pas montré que la suite $v_n$ était non nulle pour tout indice $n$ . Je lui compte faux à cette question.

oui j'ai compris pas besoin de me gueuler dessus je ne suis pas une de tes élèves . Je fais de mon mieux pour essayer d'aider les maths forumeurs je ne viens pas pour me faire engueuler . Ok si j'ai fait une faute je suis capable de le reconnaitre mais j'aimerais quand même que tu changes de ton merci.
oui je n'ai pas dit à Maeva qu'il fallait vérifier que $v_n$ ne s'annulait pas.

Cependant dans mon post précédent j'ai vérifié que la suite $v_n$ ne s'annulait pas .
J'ai fait (en gros)

$v_n = u_n-50$
si $v_n$ s'annule alors cela signifie que $u_n = 50$
or on a

$un+1=80100un+10u_{n+1}= \frac{80}{100}u_n+10$

donc si la suite $u_n)$ admet une limite $l$ alors on peut écrire

$\frac{80}{100} l +10$

soit $210l=10\frac{2}{10} l = 10$

donc $l = 50$

donc tout va bien la limite de $u_n$ c'est 50 donc $un≠50u_n\ne50$

donc $vn≠0v_n\ne0$

d'accord alors j'ai trouvé $v_0$ = 60 - 50 = 10
$v_n$ = $u_n$ - 50
mais qu'est-ce que signifie "déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de n" ?

ok cool alors
maintenant tu peux donner l'expression de $v_n)$ c'est

$vn=v0×(45)nv_n = v_0\times (\frac{4}{5})^n$
donc
...
ensuite dans

$v_n = u_n - 50$
tu remplaces $v_n$ par l'expression que tu as trouvé au dessus

et tu pourras avoir $u_n$
ok??

ok voilà ce que j'ai fait :
$v_n$ = 10 * $4/5)^n$
$10*(4/5)^n$ = $u_n$ - 50
$u_n$ = $10*(4/5)^n$ + 50
c'est ça ?
ensuite on me demande quel nombre d'abonnés peut-on prévoir au 1.1.2007 donc là j'ai juste à remplacer n par 7 ?
dernière question :
dans les mêmes conditions de réabonnement, quel serait le nombre total N de mensuels vendus entre le 1.1.2000 et le 31.12.2010 (à 100 mensuels près par défaut)
est-ce qu'il faut que je fasse n = 10 ?

oui pour l'expression de la suite $u_n$ oui pour l'histoire de 2007
par contre je crois que non pour l'histoire des mensuels...
en fait la suite $u_n$ c'est le nombre d'abonnements pour des mensuels pas le nombre de mensuels tu comprends??!!
pour un abonnement donc pour une année il y a 12 mois doonc 12 mensuels ...
donc tu dois compter le nombre d'abonnement entre les deux dates et le multiplier par 12 pour avoir le nombre de mag... ok??!!

a oui ok c'est vrai c'est logique donc par exemple pour 2000 où il y a eu 60000 abonnements c'est 60*12 + $u_1$ *12 etc...

oui voilà c'est ça!!!!:):)

il faut que tu fasses la somme pour $n$ allant de 0 à 10 de $u_n$ et que tu multiplies de tout par 12

ok hé bien merci beaucoup en tout cas, vos explications m'ont vraiment été utiles pour comprendre cet exercice !

ah c'est cool tant mieux alors
++++