suites numériques



  • Re bonjour 😁
    voilà en fait dans la suite de mon devoir j'ai un exercice sur les suites à faire, je l'ai commencé mais je bloque...
    je résume le début : le sujet porte sur l'analyse des résultats d'une entreprise de presse, chaque année, le taux de réabonnement est de 80 % et pour la meme date on obtiens 10 000 nouveaux autres abonné
    soit unu_n le nombre d'abonnés en milliers au 1er janvier de l'année de rang n (u0(u_0 en 2000, u1u_1 en 2001...)

    j'ai trouvé :
    année 2000
    n = 0
    u0=60u_0 = 60

    pour 2001
    u1=58u_1 = 58

    pour 2002
    u2=56.4u_2 = 56.4

    pour 2003
    u3=55.12u_3 = 55.12

    et ensuite on me dit :
    on considère la suite vnv_n définie pour tout entier naturel n par :
    vn=un50v_n = u_n - 50

    montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison
    puis en déduire l'expression de (vn)(v_n) puis de (un)(u_n) en fonction de n

    je bloque parce que je sais qu'une suite géométrique est de la forme q×unq\times u_net donc ça ne ressemble pas trop à ce que j'ai ... et parce qu'ensuite il faut en déduire l'expression et que je me demande quoi écrire, mais peut etre que ça sera plus clair quand j'aurai réussi la 1ère question....

    merci d'avance

    miumiu passage au LaTex et modification de l'écriture de unu_n



  • coucou !!
    je suppose que c'est unu_n et non unu^n
    tu peux écrire u1u_1 ;u2u_2... ce sera plus clair je pense 😉
    pour montrer qu'un suite est géométrique il faut calculer

    vn+1vn\frac{v_{n+1}}{v_n}

    si (vn)(v_n) est géométrique alors on trouve un résultat qui ne dépend pas de nn (on trouve la raison qq)

    pour trouver l'expression de (vn+1)(v_{n+1})
    il va falloir que tu exprimes (un+1)(u_{n+1})



  • on a

    un+1=80un100+10u_{n+1} = \frac{80u_n}{100}+10
    ok?!

    donc
    vn+1vn=un+150un50=80un10040un50\frac{v_{n+1}}{v_n}= \frac{ u_{n+1}-50}{u_n-50} = \frac{\frac{80u_n}{100}-40}{u_n - 50}

    ok?! il faut simplifier maintenant



  • ok oui j'ai compris, j'ai simplifié 80/100 en 4/5 et après est-ce que je mets tout sous le même dénominateur (5) ? comment faire avec les 2 unu_n en haut et en bas? je peux les enlever ?



  • Tu sais que vn=un50v_n = u_n -50
    donc écris que vn+1=un+150v_{n+1}=u_{n+1}-50
    Ensuite tu connais l'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_n.
    Tu réduis et tu factorises par le coefficient situé juste devant ton unu_n dans l'expression de vn+1v_{n+1}
    Tu verras alors apparaître comme par magie vnv_n

    Tu as donc montré que ta suite vnv_n est géométrique.

    Enfin, si on pose wn+1=qwnw_{n+1}=q w_n alors wn=qnw0w_n=q^n w_0

    PS: Je ferais juste une remarque à Cosmos tu ne peux faire vn+1vn\frac {v_{n+1}} {v_n} si tu es sûr qu'aucun terme de ta suite vnv_n ne s'annule



  • Maeva6
    ok oui j'ai compris, j'ai simplifié 80/100 en 4/5 et après est-ce que je mets tout sous le même dénominateur (5) ? comment faire avec les 2 unu_n en haut et en bas? je peux les enlever ?



  • Tu n'as pas le droit d'écrire vn+1vn\frac {v_{n+1}}{v_n} si tu ne montres pas au préalable que ta suite vnv_n est non nulle pour tout indice nn !!!!

    Combien de fois devrais-je te le répéter.

    Il suffit juste d'écrire vn+1=80100vnv_{n+1}=\frac {80}{100} v_n
    Par définition, vnv_n est une suite géométrique.

    Pour ma part, si un élève m'écrit
    vn+1vn=80100\frac {v_{n+1}}{v_n} =\frac {80}{100}
    et qu'il n'a pas montré que la suite vnv_n était non nulle pour tout indice nn . Je lui compte faux à cette question.



  • oui j'ai compris pas besoin de me gueuler dessus je ne suis pas une de tes élèves . Je fais de mon mieux pour essayer d'aider les maths forumeurs je ne viens pas pour me faire engueuler . Ok si j'ai fait une faute je suis capable de le reconnaitre mais j'aimerais quand même que tu changes de ton merci.
    oui je n'ai pas dit à Maeva qu'il fallait vérifier que vnv_n ne s'annulait pas.

    Cependant dans mon post précédent j'ai vérifié que la suite vnv_n ne s'annulait pas .
    J'ai fait (en gros)

    vn=un50v_n = u_n-50
    sivnv_n s'annule alors cela signifie que un=50u_n = 50
    or on a

    un+1=80100un+10u_{n+1}= \frac{80}{100}u_n+10

    donc si la suite (un)(u_n) admet une limite ll alors on peut écrire

    l=80100l+10l = \frac{80}{100} l +10

    soit 210l=10\frac{2}{10} l = 10

    donc l=50l=50

    donc tout va bien la limite de unu_n c'est 50 doncun50u_n\ne50

    doncvn0v_n\ne0



  • d'accord alors j'ai trouvé v0v_0 = 60 - 50 = 10
    vnv_n = unu_n - 50
    mais qu'est-ce que signifie "déduire l'expression de vnv_n puis de unu_n en fonction de n" ?



  • ok cool alors
    maintenant tu peux donner l'expression de (vn)(v_n) c'est

    vn=v0×(45)nv_n = v_0\times (\frac{4}{5})^n
    donc
    ...
    ensuite dans

    vn=un50v_n = u_n - 50
    tu remplaces vnv_n par l'expression que tu as trouvé au dessus 😉

    et tu pourras avoir unu_n
    ok??

    🙂



  • ok voilà ce que j'ai fait :
    vnv_n = 10 * (4/5)n(4/5)^n
    10(4/5)n10*(4/5)^n = unu_n - 50
    unu_n = 10(4/5)n10*(4/5)^n + 50
    c'est ça ?
    ensuite on me demande quel nombre d'abonnés peut-on prévoir au 1.1.2007 donc là j'ai juste à remplacer n par 7 ?
    dernière question :
    dans les mêmes conditions de réabonnement, quel serait le nombre total N de mensuels vendus entre le 1.1.2000 et le 31.12.2010 (à 100 mensuels près par défaut)
    est-ce qu'il faut que je fasse n = 10 ?



  • oui pour l'expression de la suite unu_n oui pour l'histoire de 2007
    par contre je crois que non pour l'histoire des mensuels...
    en fait la suite unu_n c'est le nombre d'abonnements pour des mensuels pas le nombre de mensuels tu comprends??!!
    pour un abonnement donc pour une année il y a 12 mois doonc 12 mensuels ...
    donc tu dois compter le nombre d'abonnement entre les deux dates et le multiplier par 12 pour avoir le nombre de mag... ok??!!



  • a oui ok c'est vrai c'est logique donc par exemple pour 2000 où il y a eu 60000 abonnements c'est 60*12 + u1u_1*12 etc...



  • oui voilà c'est ça!!!!:):)

    il faut que tu fasses la somme pour nn allant de 0 à 10 de unu_n et que tu multiplies de tout par 12



  • ok hé bien merci beaucoup en tout cas, vos explications m'ont vraiment été utiles pour comprendre cet exercice ! 😄



  • ah c'est cool tant mieux alors 🙂
    ++++


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