Résoudre un problème à l'aide des fonctions linéaires



  • Devoir maison de Mistinguette fait avec amour cette après midi mdr

    Enoncé

    ABC est un triangle rectangle en B
    AB= 60 m et BC= 80 m.
    M est un point du segment [AB] ;
    AM= xxm et xx compris entre 0 et 60.
    La perpendiculaire à (AB) passant par M coupe (AC) en N.

    Questions
    1/ Faire une figure à l’échelle 11000\frac{1}{1000}.

    2/ Calculer AC.

    3/ Montrer que an=53xan= \frac{5}{3} x et que mn=43xmn= \frac{4}{3} x.

    4/ a) Calculer en fonction de xx, le périmètre P du triangle AMN.

    b) Pour quelle valeur de xx ce périmètre est-il égal à 170 m ? Vérifier.

    5/ (o;i;j)(o ;\vec{i} ;\vec{j}) est un repère du plan d’axes perpendiculaires.

    En abscisses : 1cm représente 6m
    En ordonnée : 1cm représente 15m

    a) Représenter dans ce repère la représentation graphique de la fonction linéaire
    f(x)=4xf(x)=4x pour des valeurs de xx comprises entre 0 et 60 .
    On fera un tableau de valeurs.

    b) Retrouver, par lecture graphique, à faire apparaître avec les pointillés utiles, la
    réponse à la question 4/ b).

    6/ a) Calculer, en fonction de xx, les distances MB et NC.

    b) Calculer, en fonction de xx, le périmètre qq du trapèze MBCN.
    On réduira q le plus possible. (on trouve q=.x+.q= ….x + …. )

    7/ a) Calculer, en fonction de xx, l’aire A du triangle AMN
    b) Compléter le tableau suivant :

    $\begin{array}{|cc|ccc|ccc|ccc|} \hline \text{ valeurs}\ \text{de x}&&&6&&&30&&&45&\ \text{ en m }\ \hline\text{ aire}\\text{du triangle}&&& ? &&&?&&&?&\ \text{en m^2}\ \hline \end{array}$ Indiquer les calculs.

    c) A est-elle fonction linéaire de x ? Justifier.

    Réponses

    1/
    l'échelle est de 11000\frac{1}{1000}
    c'est à dire que pour 1 cm on a 1000 cm dans la réalité
    la longueur AB qui fait 60 m soit 6000 cm doit être représentée par un segment de longeur 60001000=6cm\frac{6000}{1000} = 6 cm
    par le même raisonnement on trouve BC=8 cm avec cette échelle

    2/ ABC est un triangle rectangle en B
    AB= 60 m et BC= 80 m.
    D'après le Théorème de Pythagore on peut dire

    ac2=ab2+bc2ac^2 = ab^2+bc^2

    ac2=602+802ac^2 = 60^2+80^2

    ac2=10000ac^2=10 000

    ac=100mac=100 m

    3/ABC est un triangle rectangle en B donc (BC) est perpendiculaire à (AB);
    M est un point du segment [AB] ;
    N est un point du segment [AC] ;
    (MN) est perpendiculaire à (AB)
    si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles
    donc (MN) // (BC)
    D'après le théorème de Thalès on peut dire que

    amab=anac=mnbc\frac{am}{ab}=\frac{an}{ac}=\frac{mn}{bc}
    donc

    x60=an100\frac{x}{60}=\frac{an}{100}

    alors an=100×x60an= \frac{100\times x }{60}
    an=53xan= \frac{5}{3} x
    de même on prouve que mn=43xmn= \frac{4}{3} x

    a/Détermination du périmètre de AMN:

    pamn(x)=am+mn+anp_{amn} (x) = am+mn+an

    pamn(x)=x+43x+53xp_{amn}(x) = x+ \frac{4}{3} x+ \frac{5}{3} x

    pamn(x)=12x3p_{amn} (x) = \frac{12x}{3}

    pamn(x)=4xp_{amn}(x) =4x

    b/ Détermiation de la valeur de x pour laquelle pamn=170mp_{amn}=170 m:
    pamn=170mp_{amn}=170 m
    donc
    4x=1704x = 170

    x=1704x= \frac{170}{4}

    x=42,5x=42,5

    a/ j'ai pris trois valeurs x=0 ; x=60 ; x=6 on ne pouvait en prendre que deux (il suffit de deux points pour tracer une droite )
    b/ voir sur le graphique

    http://www.hiboox.com/vignettes/5006/c1585614.jpg

    a/ Détermination de MB et de MC en fonction de x:

    mb=abammb=ab-am

    mb=60xmb=60-x

    nc=acannc=ac-an

    nc=10053xnc= 100-\frac{5}{3} x

    on peut simplifier mais cela n'avance à rien surtout pour la suite ...

    b/Détermination du périmètre de MBCN

    pmbcn(x)=mb+mn+nc+bcp_{mbcn}(x)= mb+mn+nc+bc

    pmbcn(x)=60x+43x+10053x+80p_{mbcn}(x)= 60-x +\frac{4}{3} x+100-\frac{5}{3} x +80

    pmbcn(x)=240+43x53xxp_{mbcn}(x)= 240 + \frac{4}{3} x-\frac{5}{3} x -x

    pmbcn(x)=240+43x53x33xp_{mbcn}(x)= 240 + \frac{4}{3} x-\frac{5}{3} x -\frac{3}{3} x

    pmbcn(x)=24043xp_{mbcn}(x)= 240 - \frac{4}{3} x

    a/Détermination de l'aire de AMN

    aamn(x)=am×mn2a_{amn}(x) = \frac{am\times mn}{2}

    aamn(x)=x×43x2a_{amn}(x) = \frac{x\times \frac{4}{3} x}{2}

    aamn(x)=2x23a_{amn}(x) = \frac{2x^2}{3}

    b/
    \hline valeurs de xamp;amp;amp;6amp;amp;amp;30amp;amp;amp;45amp;  en m  \hline airetextdutriangleamp;amp;amp;24amp;amp;amp;600amp;amp;amp;1350amp; en m \hline\begin{array}{|cc|ccc|ccc|ccc|} \hline \text{ valeurs}\ \text{de x}&&&6&&&30&&&45&\ \text{ en m }\ \hline\text{ aire}\\text{du triangle}&&& 24 &&&600&&&1350&\ \text{en m}\ \hline \end{array}

    pour le premier calcul
    pour x=6x=6
    a(x)=62×23=24a(x)= \frac{6^2\times 2}{3}=24

    c/on remarque qu'il n'y a pas proportionnalité entre les valeurs de xx et de a(x)a(x)
    246=6;60045=13\frac{24}{6} =6 ; \frac{600}{45}=13
    on ne peut donc écrire a(x)=k×xa(x)= k \times x avec kk appartenant à R donc A n'est pas une fonction linéaire .


 

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