Résoudre un problème à l'aide des fonctions linéaires


  • M

    Devoir maison de Mistinguette fait avec amour cette après midi mdr

    Enoncé

    ABC est un triangle rectangle en B
    AB= 60 m et BC= 80 m.
    M est un point du segment [AB] ;
    AM= xxxm et xxx compris entre 0 et 60.
    La perpendiculaire à (AB) passant par M coupe (AC) en N.

    Questions
    1/ Faire une figure à l’échelle 11000\frac{1}{1000}10001.

    2/ Calculer AC.

    3/ Montrer que an=53xan= \frac{5}{3} xan=35x et que mn=43xmn= \frac{4}{3} xmn=34x.

    4/ a) Calculer en fonction de xxx, le périmètre P du triangle AMN.

    b) Pour quelle valeur de xxx ce périmètre est-il égal à 170 m ? Vérifier.

    5/ (o;i⃗;j⃗)(o ;\vec{i} ;\vec{j})(o;i;j) est un repère du plan d’axes perpendiculaires.

    En abscisses : 1cm représente 6m
    En ordonnée : 1cm représente 15m

    a) Représenter dans ce repère la représentation graphique de la fonction linéaire
    f(x)=4xf(x)=4xf(x)=4x pour des valeurs de xxx comprises entre 0 et 60 .
    On fera un tableau de valeurs.

    b) Retrouver, par lecture graphique, à faire apparaître avec les pointillés utiles, la
    réponse à la question 4/ b).

    6/ a) Calculer, en fonction de xxx, les distances MB et NC.

    b) Calculer, en fonction de xxx, le périmètre qqq du trapèze MBCN.
    On réduira q le plus possible. (on trouve q=….x+….q= ….x + ….q=.x+. )

    7/ a) Calculer, en fonction de xxx, l’aire A du triangle AMN
    b) Compléter le tableau suivant :

    $\begin{array}{|cc|ccc|ccc|ccc|} \hline \text{ valeurs}\ \text{de x}&&&6&&&30&&&45&\ \text{ en m }\ \hline\text{ aire}\\text{du triangle}&&& ? &&&?&&&?&\ \text{en m^2}\ \hline \end{array}$ Indiquer les calculs.

    c) A est-elle fonction linéaire de x ? Justifier.

    Réponses

    1/
    l'échelle est de 11000\frac{1}{1000}10001
    c'est à dire que pour 1 cm on a 1000 cm dans la réalité
    la longueur AB qui fait 60 m soit 6000 cm doit être représentée par un segment de longeur 60001000=6cm\frac{6000}{1000} = 6 cm10006000=6cm
    par le même raisonnement on trouve BC=8 cm avec cette échelle

    2/ ABC est un triangle rectangle en B
    AB= 60 m et BC= 80 m.
    D'après le Théorème de Pythagore on peut dire

    ac2=ab2+bc2ac^2 = ab^2+bc^2ac2=ab2+bc2

    ac2=602+802ac^2 = 60^2+80^2ac2=602+802

    ac2=10000ac^2=10 000ac2=10000

    ac=100mac=100 mac=100m

    3/ABC est un triangle rectangle en B donc (BC) est perpendiculaire à (AB);
    M est un point du segment [AB] ;
    N est un point du segment [AC] ;
    (MN) est perpendiculaire à (AB)
    si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles
    donc (MN) // (BC)
    D'après le théorème de Thalès on peut dire que

    amab=anac=mnbc\frac{am}{ab}=\frac{an}{ac}=\frac{mn}{bc}abam=acan=bcmn
    donc

    x60=an100\frac{x}{60}=\frac{an}{100}60x=100an

    alors an=100×x60an= \frac{100\times x }{60}an=60100×x
    an=53xan= \frac{5}{3} xan=35x
    de même on prouve que mn=43xmn= \frac{4}{3} xmn=34x

    a/Détermination du périmètre de AMN:

    pamn(x)=am+mn+anp_{amn} (x) = am+mn+anpamn(x)=am+mn+an

    pamn(x)=x+43x+53xp_{amn}(x) = x+ \frac{4}{3} x+ \frac{5}{3} xpamn(x)=x+34x+35x

    pamn(x)=12x3p_{amn} (x) = \frac{12x}{3}pamn(x)=312x

    pamn(x)=4xp_{amn}(x) =4xpamn(x)=4x

    b/ Détermiation de la valeur de x pour laquelle pamn=170mp_{amn}=170 mpamn=170m:
    pamn=170mp_{amn}=170 mpamn=170m
    donc
    4x=1704x = 1704x=170

    x=1704x= \frac{170}{4}x=4170

    x=42,5x=42,5x=42,5

    a/ j'ai pris trois valeurs x=0 ; x=60 ; x=6 on ne pouvait en prendre que deux (il suffit de deux points pour tracer une droite )
    b/ voir sur le graphique

    http://www.hiboox.com/vignettes/5006/c1585614.jpg
    6)
    a/ Détermination de MB et de MC en fonction de x:

    mb=ab−ammb=ab-ammb=abam

    mb=60−xmb=60-xmb=60x

    nc=ac−annc=ac-annc=acan

    nc=100−53xnc= 100-\frac{5}{3} xnc=10035x

    on peut simplifier mais cela n'avance à rien surtout pour la suite ...

    b/Détermination du périmètre de MBCN

    pmbcn(x)=mb+mn+nc+bcp_{mbcn}(x)= mb+mn+nc+bcpmbcn(x)=mb+mn+nc+bc

    pmbcn(x)=60−x+43x+100−53x+80p_{mbcn}(x)= 60-x +\frac{4}{3} x+100-\frac{5}{3} x +80pmbcn(x)=60x+34x+10035x+80

    pmbcn(x)=240+43x−53x−xp_{mbcn}(x)= 240 + \frac{4}{3} x-\frac{5}{3} x -xpmbcn(x)=240+34x35xx

    pmbcn(x)=240+43x−53x−33xp_{mbcn}(x)= 240 + \frac{4}{3} x-\frac{5}{3} x -\frac{3}{3} xpmbcn(x)=240+34x35x33x

    pmbcn(x)=240−43xp_{mbcn}(x)= 240 - \frac{4}{3} xpmbcn(x)=24034x

    a/Détermination de l'aire de AMN

    aamn(x)=am×mn2a_{amn}(x) = \frac{am\times mn}{2}aamn(x)=2am×mn

    aamn(x)=x×43x2a_{amn}(x) = \frac{x\times \frac{4}{3} x}{2}aamn(x)=2x×34x

    aamn(x)=2x23a_{amn}(x) = \frac{2x^2}{3}aamn(x)=32x2

    b/
    $\begin{array}{|cc|ccc|ccc|ccc|} \hline \text{ valeurs}\ \text{de x}&&&6&&&30&&&45&\ \text{ en m }\ \hline\text{ aire}\\text{du triangle}&&& 24 &&&600&&&1350&\ \text{en m}\ \hline \end{array}$

    pour le premier calcul
    pour x=6x=6x=6
    a(x)=62×23=24a(x)= \frac{6^2\times 2}{3}=24a(x)=362×2=24

    c/on remarque qu'il n'y a pas proportionnalité entre les valeurs de xxx et de a(x)a(x)a(x)
    246=6;60045=13\frac{24}{6} =6 ; \frac{600}{45}=13624=6;45600=13
    on ne peut donc écrire a(x)=k×xa(x)= k \times xa(x)=k×x avec kkk appartenant à R donc A n'est pas une fonction linéaire .


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