Résoudre un problème à l'aide des fonctions linéaires

[miumiu]

Devoir maison de Mistinguette fait avec amour cette après midi mdr

Enoncé

ABC est un triangle rectangle en B
AB= 60 m et BC= 80 m.
M est un point du segment [AB] ;
AM= $x$m et $x$ compris entre 0 et 60.
La perpendiculaire à (AB) passant par M coupe (AC) en N.

Questions
1/ Faire une figure à l’échelle $\frac{1}{1000}$.

2/ Calculer AC.

3/ Montrer que $an=\frac{5}{3}x$ et que $mn=\frac{4}{3}x$.

4/ a) Calculer en fonction de $x$, le périmètre P du triangle AMN.

b) Pour quelle valeur de $x$ ce périmètre est-il égal à 170 m ? Vérifier.

5/ $(o;\vec{i};\vec{j})$ est un repère du plan d’axes perpendiculaires.

En abscisses : 1cm représente 6m
En ordonnée : 1cm représente 15m

a) Représenter dans ce repère la représentation graphique de la fonction linéaire
$f(x)=4x$ pour des valeurs de $x$ comprises entre 0 et 60 .
On fera un tableau de valeurs.

b) Retrouver, par lecture graphique, à faire apparaître avec les pointillés utiles, la
réponse à la question 4/ b).

6/ a) Calculer, en fonction de $x$, les distances MB et NC.

b) Calculer, en fonction de $x$, le périmètre $q$ du trapèze MBCN.
On réduira q le plus possible. (on trouve $q=\dots .x+\dots .$ )

7/ a) Calculer, en fonction de $x$, l’aire A du triangle AMN
b) Compléter le tableau suivant :

$\begin{array}{|cc|ccc|ccc|ccc|} \hline \text{ valeurs}\ \text{de x}&&&6&&&30&&&45&\ \text{ en m }\ \hline\text{ aire}\\text{du triangle}&&& ? &&&?&&&?&\ \text{en m^2}\ \hline \end{array}$ Indiquer les calculs.

c) A est-elle fonction linéaire de x ? Justifier.

Réponses

1/
l'échelle est de $\frac{1}{1000}$
c'est à dire que pour 1 cm on a 1000 cm dans la réalité
la longueur AB qui fait 60 m soit 6000 cm doit être représentée par un segment de longeur $\frac{6000}{1000}=6cm$
par le même raisonnement on trouve BC=8 cm avec cette échelle

2/ ABC est un triangle rectangle en B
AB= 60 m et BC= 80 m.
D'après le Théorème de Pythagore on peut dire

$a{c}^2=a{b}^2+b{c}^2$

$a{c}^2=60^2+80^2$

$a{c}^2=10000$

$ac=100m$

3/ABC est un triangle rectangle en B donc (BC) est perpendiculaire à (AB);
M est un point du segment [AB] ;
N est un point du segment [AC] ;
(MN) est perpendiculaire à (AB)
si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles
donc (MN) // (BC)
D'après le théorème de Thalès on peut dire que

$\frac{am}{ab}=\frac{an}{ac}=\frac{mn}{bc}$
donc

$\frac{x}{60}=\frac{an}{100}$

alors $an=\frac{100\times x}{60}$
$an=\frac{5}{3}x$
de même on prouve que $mn=\frac{4}{3}x$

a/Détermination du périmètre de AMN:

$p_{amn}(x)=am+mn+an$

$p_{amn}(x)=x+\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}x$

$p_{amn}(x)=\frac{12x}{3}$

$p_{amn}(x)=4x$

b/ Détermiation de la valeur de x pour laquelle $p_{amn}=170m$:
$p_{amn}=170m$
donc
$4x=170$

$x=\frac{170}{4}$

$x=42,5$

a/ j'ai pris trois valeurs x=0 ; x=60 ; x=6 on ne pouvait en prendre que deux (il suffit de deux points pour tracer une droite )
b/ voir sur le graphique

6)
a/ Détermination de MB et de MC en fonction de x:

$mb=ab-am$

$mb=60-x$

$nc=ac-an$

$nc=100-\frac{5}{3}x$

on peut simplifier mais cela n'avance à rien surtout pour la suite ...

b/Détermination du périmètre de MBCN

$p_{mbcn}(x)=mb+mn+nc+bc$

$p_{mbcn}(x)=60-x+\frac{4}{3}x+100-\frac{5}{3}x+80$

$p_{mbcn}(x)=240+\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}x-x$

$p_{mbcn}(x)=240+\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}x-\frac{3}{3}x$

$p_{mbcn}(x)=240-\frac{4}{3}x$

a/Détermination de l'aire de AMN

$a_{amn}(x)=\frac{am\times mn}{2}$

$a_{amn}(x)=\frac{x\times \frac{4}{3}x}{2}$

$a_{amn}(x)=\frac{2x^2}{3}$

b/
$\begin{array}{|cc|ccc|ccc|ccc|} \hline \text{ valeurs}\ \text{de x}&&&6&&&30&&&45&\ \text{ en m }\ \hline\text{ aire}\\text{du triangle}&&& 24 &&&600&&&1350&\ \text{en m}\ \hline \end{array}$

pour le premier calcul
pour $x=6$
$a(x)=\frac{6^2\times 2}{3}=24$

c/on remarque qu'il n'y a pas proportionnalité entre les valeurs de $x$ et de $a(x)$
$\frac{24}{6}=6;\frac{600}{45}=13$
on ne peut donc écrire $a(x)=k\times x$ avec $k$ appartenant à R donc A n'est pas une fonction linéaire .