equa diff a rendre demain



  • bonjour voici un exo que je n'arrive pas a faire et c'est tres urgent pourriez vous m'aider svp

    Soit F définie par F(0)=1 et pour tout x appartenant à R* on a F(x)=(1/x)"integrale de 0 à x" de 1/((1+t^4)^(1/2)) dt
    Pour tout u appartenant à]-1;inf[ on pose r(u)=1/(1+u)^(1/2)

    Etude globale de F sur R*
    a. montrer que pour tout x appartenant à R*+ 0<=F(x)<=1 ,

    b. Etudier la parité de F

    c. montrer que est de classe C1 et que pour tout x appartenant àR*+ xF'(x)=-F(x)+r(x^4)

    d. montrer que pour toutx appartenant à R*+ F(x)>=r(x^4) ; en déduire les variations de F sur R*+



  • gsper kc po tro tar. Je te donne ici kelk tuyaux.
    Etude globale de F:
    a. Cette kestion est simple. Pour t dans [0; x], montre que 0 <= 1/racine(1+x^4) <= 1/racine(1+t^4) <= 1 puis integre entre 0 et x. Multiplie ensuite par 1/x pour avoir la reponse.
    b. F est paire. Pour le montrer, calcule F(-x). Ca donne :
    F(-x) = -1/x "Integrale de 0 a -x" de 1/racine(1+t^4) dt. Fais alors le changement de variable u = -t. Pour t = 0, u = 0 et pour t = -x, u = x. On obtient donc :
    F(-x) = -1/x "Integrale de 0 a x" de 1/racine(1+(-u)^4) (-du)" = F(x).
    c. Que F soit de classe C1 c'est du cours. Il faut juste faire attention au point 0. Pour cela, montre que la derivee de F est continue en 0 ...
    Pour la relation demandee, appelle G une primitive de 1/racine(1+t^4) sur R*+.
    On a donc : Integrale de 0 a x de 1/racine(1+t^4) dt = G(x) - G(0). Derive alors F sachant que F(x) = 1/x * (G(x) - G(0)) et tu obtiendra la relation
    d. Le fait que F(x) >= r(x^4) ets evident. Utiliz l'encadrement suggeree dans le a.
    Utiliz enfin la kestion c. pour trouver les variations de F sur R*+.
    Bonne chance et n'hesite po si t'as des pblms....


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