Etude complète d'une fonction logarithme

Une entreprise fabrique un produit en quantité x, epxrimée en milliers de tonnes.
Le cout total de fabrication est donné pr x [0;5] par
$\frac{x^2}{4} + \frac{9}{2} \ln(x+1)$

Les couts sont exprimés en centaines de milliers d'euros
I/ On considère la fonction f definie sur [0;5] par :
$\frac{x^2}{2} + \frac{9x}{x+1} - 9\ln(x+1)$

1/ Calculer f'(x)

Verifier que l'on peut écrire $\frac{x(x-2)(x+4)}{(x+1)^2}$

2/ Etablir le tableau des variations de f sur [0;5]
3/ En déduire que f s'annule sur sur ]0;5] pour une valeur unique en a

4/ determiner un encadrement à 10-3 près, de a (on précisera la méthode utilisée)
5/ deduire des resultats précédents le signe f sur [0;5]

II/
La fonction cout moyen Cm est définie sur ]0;5] par
$\frac{Ct(x)}{x} = \frac{x}{4} + \frac{9}{2} (\frac{\ln(x+1)}{x})$

1/ Calculer $C_m'(x)$
Verifier que l'on peut écrire $Cm′(x)=f(x)2x2C_m'(x) = \frac{f(x)}{ 2x^2}$ où la fonction auxilliaire de la question I
2/ Etudier le sens de variation de Cm sur ]0;5]
3/ Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un cout moyen minimal, exprimé en euros par tonne ? Quel est ce cout?

J'aurais besoin d'aide, je ne comprend pas trop comment le faire merci de m'aider

J'ai commencer malgré tt
$\frac{9}{(x+1)^2} - \frac{9}{x+1}$

J'ai trouvé comment vérifier que cela fait $\frac{x(x-2)(x+4)}{(x+1)^2}$

Le tableau de variation c negatif puis nul puis positif
compris entre 0 et 5 avec la valeur 2 au milieu
Cela descend et monte non?
Mais quelles sont les valeurs de a? 2?
Et comment calcule t-on Cm(x)' merci

miumiu: passage au LaTeX

coucou
alors ta dérivée est bonne ça va ton tableau aussi
la fonction est strictement décroissante sur [0;2[ et strictement croissante sur ]2;5]

tu dois calculer les limites en 0 et en 5
as tu vu le théorème de la bijection ou celui des valeurs intermédiaires ???
on ne te demande pas de trouver la valeur a mais seulement de dire qu'il en existe une et une seule ...

Coucou
bah non en fait je me souviens pas avoir vu ça peut être le theoreme des valeurs intermèdiaires mais c'est tout

Pour les lim de 0 j'ai trouve 0+ et 5 + l'infini

oki
le cours

Le théorème des valeurs intermédiaires:

Soit f une fonction.
Si f est continue dans [a;b], alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c de [a;b] tel que f(c)=k .

Le cas d'une fonction continue strictement monotone dans [a:b]
Soit f une fonction.
Si f est continue et strictement monotone dans [a;b], alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c de [a;b] tel que f(c)=k .

ça te dit quelquechose ???
ps: peux tu me dire si les modifications que j'ai fait sur ton sujet sont les bonnes merci

oki pour la limite en 0 mais en 5 ... tu as fait quoi pour trouver +∞ tu n'as pas remplacé x par 5 dans l'expression de f si ?!

Ah bah si faut remplacer en 5 c'est 23,31
Oui les modifications sur mon sujet son bonnes
Le cours me dit quelque chose mais je ne me souviens pas l'avoir appliquer dans un exercice

ba voilà l'application de ton cours dans ce cas
pour x=2 on a f(x)≈-1.9 et pour x=5 on a f(x)≈ 4 je ne sais pas comment tu trouves 23.31 ...
bref la fonction est strictment croissante sur cet intervalle donc il ne peut y avaoir qu'une valeur de x pour laquelle f(x)=0
tu vois ?!

Oui je vois je prend ma calculatrice pour trouver le nombre c'est ça? mais en fait moi g trouvé soit 3,7
et pr le reste oui g toruvé ça pr x=2 j'ai trouvé -1,9 et pr x=5 j'ai trouvé 3,87

oui voilà je me souvenais que ça faisait à peu près 4 pour x=5 oui alors si tu as trouvé en faisant la fonction TABLE de ta calculette c'est bon ...

pour la dérivée de C_m tu vas me le faire par étapes

dérivée de $x4\frac{x}{4}$

dérivée de $ln⁡(x+1)\ln(x+1)$

dérivée de $uv\frac{u}{v}$

Et quand il demande ça faut dire quoi?
5/ deduire des resultats précédents le signe f sur [0;5]

et bien tu sais que pour x=a on a f(x)= 0

donc pour x < a on a f(x)... 0 et pour x > a on a f(x) ...0

dérivée de $x / 4$ = rien du tout
ln(x+1) = $1 / (x + 1)$
derivée de u/v c'est u'v-v' $u/v^2$

la dérivée de $x4\frac{x}{4}$ c'est rien du tout !!!!!! alors la dérivée de $x$ c'est quoi ??? lol

c'est bien de se mettre au LaTeX bravo

ah mince je me suis trompé je crois la derivée de
$x / 4$ c'est x =1 mais alors ça ferait 1/0

quoi ?! lol

la dérivée de $x$ c'est 1 car en fait $x = 1 x$

la dérivée de $x4(=14x)\frac{x}{4} (=\frac{1}{4}x)$ c'est ...

ça ferait 1/4?

dc $x4\frac{x}{4}$ = 1/4 ?

$ln(x+1)x\frac{ln(x+1)}{x}$ donc il faut faire avec u/v ?

Je cherche la derivée de ça

$\frac{x}{4} + \frac{9}{2} (\frac{ln(x+1)}{x}) ]$

oui voilou ba c'est bientôt les vacances nan ?! XD

bon alors maintenant vas-y essaie de trouver la dérivée de $C_m$

Ah non les vacances c'est fini aujourd'hui
donc la derivée serait
$\frac{1}{(x+1)}\times x - 1\times ln(x+1)$

miumiu : modification du code LaTeX

nan je ne trouve pas ça
d'ailleurs tu devrais avoir quelque part du $x^2$ au dénominateur ... donne moi tes calcules que je regarde

n'oublie pas que la dérivée de $uv\frac{u}{v}$ c'est $u′vuv′v2\frac{u'v_uv'}{v^2}$

si t'as du mal en LaTeX pas grave ...

alor g trouvé 1/4 + 9/2 ((1/x+1)× x - 1 × ln (x+1) / x^2

oui je suis d'accord pour le moment je pense qu'il faut encore simplifier

Après bah a la fin g trouvé 1/4 + 9/2 (x^2-ln(1))/x^2

c'est presque ça !! (je suppose que c'est ln(1+x) au fait)
puisque à la fin tu dois trouver

$2x^2 C'_m(x) = f(x)$
montre moi tes calculs sinon ...

Je crois que cela fait ça
1/4 - (9/(2x(x1))

je ne sais pas c'est peut être mon ordi qui beug mais je vois

1/4 - (9 /(2x (x1) )

il y a forcément du logarithme quelque part !! et je te dis poste moi tes calculs pour que je regarde sinon

bah j'ai utiliser la formile (lnu)' = u'/u donc moi j'ai bien trouvé ça

ba oui ok mais à un moment tu as du faire (u'v-uv')
avec du par exemple u= ln(x+1)
donc ok dans la formule il y a u' mais il y a u aussi ...

je te le repete donne moi tes calculs pour que je regarde ... tes étapes

1/4 + 9/(2x(x+1)) -9ln(x+1)/(2x^2)

Mais mes calculs j'ai tt mélangé jarrive pas a comprendre comment fiare en fait

$Cm(x)=x4+92(ln⁡(x+1)x)C_m(x) = \frac{x}{4} + \frac{9}{2} (\frac{\ln(x+1)}{x})$

$C_m$ est composée de fonctions dérivables sur ]-1;+∞[ donc $C_m$ est dérivable sur ]-1;+∞[

$Cm′(x)=14+92×(xx+1−ln⁡(x+1)x2)C'_m(x) = \frac{1}{4} + \frac{9}{2} \times ( \frac{\frac{x}{x+1}- \ln(x+1)}{x^2})$

$Cm′(x)=14+92x2×(xx+1−ln⁡(x+1))C'_m(x) = \frac{1}{4} + \frac{9}{2x^2} \times ( {\frac{x}{x+1}-\ln(x+1)})$

$Cm′(x)=14+12x2×9xx+1−12x2×9ln⁡(x+1))C'_m(x) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2x^2}\times \frac{9x}{x+1} - \frac{1}{2x^2}\times 9\ln(x+1))$

j'ai fait exprès de le laisser comme ça pour qu'on puisse répondre directement a la question d'après

$2x2Cm′(x)=x22+9xx+1−9ln⁡(x+1)=f(x)2x^2C'_m(x)= \frac{x^2}{2} + \frac{9x}{x+1} - 9\ln(x+1) = f(x)$

donc $f(x)2x2=C′m(x)\frac{f(x)}{2x^2} = C'm(x)$

pour le sens de variations de C_m on étudie le signe de la dérivée ... le signe de la dérivée est le signe de f(x)

donc on sait que
pour x=a on a f(x)= 0

donc pour x < a on a f(x) < 0 et pour x > a on a f(x) > 0

alors C'_m < 0 pour x=a et C'_m > 0 pour x > a

alors la focntion C_m est décroissante sur ]0;a] et croissante sur [a;5]

pour la suite on a la valeur minimale pour C'_m(x)=0 soit pour x=a

donc ta valeur c'est pour x=a

Donc j'ai compris mais la réponse de la 3 c quoi alors
3/ Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un cout moyen minimal, exprimé en euros par tonne ? Quel est ce cout?

3,7 c quoi c le cout moyen ou le cout?

c'est pour "a "
relis mon post de 01h13 la fin

3,7 = a = la production pr cout moyen? et 2,8 que j'ai trouvé c le cout?

la fonction C_m a pour minimum C_m(a) car la dérivée s'annule pour x=a
oui je trouve aussi 2,8

oui production = a
cout moyen = 2,8

Donc pr repondre a la question 3 je met quoi? la fille qui es perdue