logarithme et variation



  • bonjour ja'i une petite question concernant la variation d'une fonction logarithme trouve que la fonction f(x) = (x² + 1 - lnx)/x² est toujours croissante sur ]0;+∞[ mais je ne trouve pas de valeur pour laquelle cette fonction s'annule.est ce normal?

    *Modif de Zorro : espaces dans f(x) car il y avait un problème d'affichage ! on ne voyait pas

    • 1 - lnx*


  • bonjour,

    Une fonction peut être croissante sur un intervalle et garder toujours le même signe !

    Par exemple la fonction h définie par h(x) = x2-x^2 est croissante sur les réels négatifs et h(x) est négatif pour tout x !

    Pour démontrer qu'une fonction est croissante ou décroissante on étudie de signe de
    f '(x) et non de f(x) !!!

    Que trouves tu pour la dérivée de f ?



  • en fait la fonction que je viens de vous donner c'est la dérivée et elle est toujours positive.mais je trouve aucune valeur pour la fonction x+1/2+(lnx)/x
    excusez moi je m'étais mal exprimée



  • Et cela coïncide avec ce que tu trouves comme représentation graphique sur ta calculatrice ?

    Tu devrais quand même me donner ce que tu trouves pour f '(x)



  • oui cela coincide
    alors la fonction c'est f(x) = x + 1/2 + lnx/x

    et la dérivée c'est f'(x) = (x² + 1 - lnx)/x²



  • f(x),=,x,+,12,+,ln(x)xf(x),=, x ,+,\frac{1}{2} ,+, \frac{\text{ln}(x)}{x}

    Et non ce que j'ai écrit dans ton message initial ! donc

    f(x),=,x2,+,1,,ln(x)x2f'(x) ,= ,\frac{x^2 ,+ ,1 ,- ,\text{ln}(x)}{x^2}



  • oui c'est ça



  • Donc en effet dans ce cas f '(x) est bien ce que tu as écrit est f '(x) > 0 pour x appartenant au domaine de définition



  • et donc il n'y a pa de valeur ki annule n'est ce pas?



  • et il n'y a aucune de valeur de x qui annule f '(x) . Tu as su le démontrer ?



  • non je n'ai pas reussi



  • f '(x) = (x² + 1 - lnx)/x2lnx)/x^2

    x2x^2 > 0 donc f '(x) a la même signe que x² + 1 - lnx

    Appelons h(x) = x² + 1 - lnx

    Il faut étudier cette fonction h = dérivée h', sens de variations, limites ..

    Et tu arriveras à montrer que h(x) > 0 pour x dans le domaine de définition de f


 

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